Решение задачи по графику квадратичной функции

Приношу свои глубочайшие извинения за предыдущую ошибку! Я внимательно пересмотрел график и условия задачи. Моя предыдущая интерпретация точек была неверной. Давайте решим эту задачу правильно. Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Задача: На рисунке изображён график функции \(y = ax^2 + bx + c\), где числа \(a\), \(b\) и \(c\) — целые. По графику функции определите значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).

Решение:

1. Понимаем, что такое квадратичная функция \(y = ax^2 + bx + c\).

Это парабола. Коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) определяют её форму и положение.

• Коэффициент \(c\) — это значение \(y\) в точке пересечения параболы с осью \(y\) (когда \(x = 0\)).
• Коэффициент \(a\) определяет направление ветвей параболы (вверх, если \(a > 0\), вниз, если \(a < 0\)) и её "ширину".
• Коэффициент \(b\) влияет на положение вершины параболы.

2. Определяем масштаб графика.

На графике указаны числа "1" на осях \(x\) и \(y\). Это означает, что одна клетка на графике соответствует одной единице измерения.

3. Находим значение коэффициента \(c\).

Коэффициент \(c\) — это \(y\)-координата точки пересечения параболы с осью \(y\). Посмотрим на график: парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0; 2)\).

Значит, \(c = 2\).

4. Находим координаты вершины параболы.

Вершина параболы находится в точке \((x_в; y_в)\). По графику видно, что вершина находится в точке \((1; -1)\).

Формула для \(x\)-координаты вершины параболы: \(x_в = -\frac{b}{2a}\).

Значит, \(1 = -\frac{b}{2a}\), или \(b = -2a\).

5. Используем координаты вершины и значение \(c\) для нахождения \(a\) и \(b\).

У нас есть уравнение функции \(y = ax^2 + bx + c\).

Мы знаем \(c = 2\).

Подставим координаты вершины \((1; -1)\) в уравнение функции:

\[-1 = a \cdot (1)^2 + b \cdot 1 + 2\] \[-1 = a + b + 2\]

Теперь подставим \(b = -2a\) в это уравнение:

\[-1 = a + (-2a) + 2\] \[-1 = a - 2a + 2\] \[-1 = -a + 2\]

Перенесем \(-a\) влево и \(-1\) вправо:

\[a = 2 + 1\] \[a = 3\]

6. Находим значение \(b\).

Мы знаем, что \(b = -2a\).

Подставим \(a = 3\):

\[b = -2 \cdot 3\] \[b = -6\]

Проверка:

У нас получились коэффициенты: \(a = 3\), \(b = -6\), \(c = 2\).

Уравнение параболы: \(y = 3x^2 - 6x + 2\).

Проверим точки, которые мы использовали, и другие удобные точки на графике:

• Точка пересечения с осью \(y\): \((0; 2)\).

\(y = 3(0)^2 - 6(0) + 2 = 2\). Верно.

• Вершина: \((1; -1)\).

\(y = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -3 + 2 = -1\). Верно.

• Точка \((2; 2)\) (симметричная точке \((0; 2)\) относительно оси симметрии \(x=1\)).

\(y = 3(2)^2 - 6(2) + 2 = 3(4) - 12 + 2 = 12 - 12 + 2 = 2\). Верно.

Все точки совпадают с графиком.

Ответ:

\(a = 3\)

\(b = -6\)

\(c = 2\)