Решение задач ОГЭ по математике 9 класс (задания 1-19)

Ниже представлены типовые задания первой части ОГЭ (с 1 по 19) с краткими решениями, оформленными для записи в тетрадь. \[ \text{Блок 1-5: План домохозяйства} \] На плане изображено домохозяйство. Сторона клетки равна 2 м. Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. Задание 1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. (Допустим: Жилой дом — 3, Сарай — 4, Баня — 2, Огород — 1). Ответ: 3421. Задание 2. Плитка для дорожек продается в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить все дорожки (допустим, их площадь 26 кв. м, а площадь одной плитки \( 0,25 \text{ м}^2 \))? Решение: 1) Количество плиток: \( 26 : 0,25 = 104 \) шт. 2) Количество упаковок: \( 104 : 4 = 26 \). Ответ: 26. Задание 3. Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Решение: Если дом занимает 15 клеток, а площадь одной клетки \( 2 \cdot 2 = 4 \text{ м}^2 \): \[ S = 15 \cdot 4 = 60 \text{ м}^2 \] Ответ: 60. Задание 4. Найдите расстояние от жилого дома до бани (расстояние между ближайшими точками по прямой). Решение: Используем теорему Пифагора для гипотенузы треугольника с катетами в клетках (например, 3 и 4 клетки): \[ d = \sqrt{(3 \cdot 2)^2 + (4 \cdot 2)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ м} \] Ответ: 10. Задание 5. Хозяин планирует установить отопление. Газовое оборудование стоит 24000 руб., монтаж 15000 руб. Электрическое: оборудование 20000 руб., монтаж 10000 руб. Газ дешевле электричества на 2 руб./час. Через сколько часов экономия компенсирует разницу в цене? Решение: 1) Разница в стоимости: \( (24000 + 15000) - (20000 + 10000) = 39000 - 30000 = 9000 \) руб. 2) Время: \( 9000 : 2 = 4500 \) часов. Ответ: 4500. \[ \text{Блок 6-14: Алгебра} \] Задание 6. Найдите значение выражения: \[ \frac{1}{5} + 0,04 = 0,2 + 0,04 = 0,24 \] Ответ: 0,24. Задание 7. На координатной прямой отмечена точка \( A \). Известно, что она соответствует одному из четырех чисел: 1) \( \sqrt{18} \), 2) \( \sqrt{24} \), 3) \( \sqrt{35} \), 4) \( \sqrt{46} \). (Точка \( A \) стоит чуть правее 6). Решение: \( 6 = \sqrt{36} \). Число чуть больше 6 — это \( \sqrt{46} \). Ответ: 4. Задание 8. Найдите значение выражения: \[ \frac{a^{13} \cdot a^{-5}}{a^6} = \frac{a^{13-5}}{a^6} = \frac{a^8}{a^6} = a^{8-6} = a^2 \] При \( a = 5 \): \( 5^2 = 25 \). Ответ: 25. Задание 9. Решите уравнение: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Решение по дискриминанту: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -1 \] Ответ: -15 (если просят записать корни без пробелов). Задание 10. В тарелке 20 пирожков: 2 с мясом, 16 с капустой и 2 с рисом. Андрей наугад выбирает один. Найдите вероятность того, что он окажется с рисом. Решение: \[ P = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1 \] Ответ: 0,1. Задание 11. Установите соответствие между графиками функций и формулами (например, \( y = x^2 \) — парабола). Ответ: 231 (пример). Задание 12. Зная длину шага \( L \) и количество шагов \( n \), расстояние вычисляется по формуле \( S = L \cdot n \). Найдите \( S \), если \( L = 0,8 \text{ м} \), \( n = 2000 \). Решение: \[ S = 0,8 \cdot 2000 = 1600 \text{ м} \] Ответ: 1600. Задание 13. Укажите решение системы неравенств: \[ \begin{cases} x + 2,6 \le 0 \\ x + 5 \ge 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le -2,6 \\ x \ge -4 \end{cases} \] Ответ: \( [-4; -2,6] \). Задание 14. В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше. Сколько всего мест в амфитеатре? Решение (арифметическая прогрессия): \[ a_1 = 20, d = 2, n = 10 \] \[ S_{10} = \frac{2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 2}{2} \cdot 10 = \frac{40 + 18}{2} \cdot 10 = 29 \cdot 10 = 290 \] Ответ: 290. \[ \text{Блок 15-19: Геометрия} \] Задание 15. В треугольнике два угла равны \( 43^\circ \) и \( 87^\circ \). Найдите третий угол. Решение: \[ 180^\circ - (43^\circ + 87^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \] Ответ: 50. Задание 16. Центр окружности, описанной около треугольника \( ABC \), лежит на стороне \( AB \). Найдите угол \( ABC \), если угол \( BAC = 30^\circ \). Решение: Так как центр лежит на стороне, \( AB \) — диаметр, угол \( C = 90^\circ \). \[ \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Ответ: 60. Задание 17. Периметр квадрата равен 24. Найдите его площадь. Решение: 1) Сторона: \( a = 24 : 4 = 6 \). 2) Площадь: \( S = 6^2 = 36 \). Ответ: 36. Задание 18. На клетчатой бумаге (1х1) изображен ромб. Найдите длину его большей диагонали (считаем клетки). Ответ: 8 (например). Задание 19. Какие из следующих утверждений верны? 1) Через любую точку проходит только одна прямая. (Нет) 2) Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. (Да) Ответ: 2.