Решение задачи: определение параметрических уравнений астроиды

Для решения этой задачи проанализируем график кривой и сопоставим его с предложенными параметрическими уравнениями. На графике изображена кривая, которая называется астроидой (или ее частью). Она имеет характерные "острые" вершины на осях координат. Точки пересечения с осями: \( (2, 0) \), \( (-2, 0) \) и \( (0, 2) \). Проверим предложенные варианты: 1. Первая система: \[ \begin{cases} x = 2(t - \sin t) \\ y = 2(1 - \cos t) \end{cases} \] Это уравнение циклоиды. Ее график выглядит как арки, касающиеся оси \( x \), что не соответствует рисунку. 2. Вторая система: \[ \begin{cases} x = 2\cos^2 t \\ y = 2\sin^2 t \end{cases} \] Если сложить \( x \) и \( y \), получим \( x + y = 2(\cos^2 t + \sin^2 t) = 2 \). Это уравнение прямой линии \( y = 2 - x \), а на графике мы видим кривую. 3. Третья система: \[ \begin{cases} x = 2\cos^3 t \\ y = 2|\sin^3 t| \end{cases} \] Это классическое параметрическое уравнение астроиды. Возведем обе части в степень \( 2/3 \): \[ x^{2/3} = (2\cos^3 t)^{2/3} = 2^{2/3} \cos^2 t \] \[ y^{2/3} = (2|\sin^3 t|)^{2/3} = 2^{2/3} \sin^2 t \] Сложим их: \[ x^{2/3} + y^{2/3} = 2^{2/3} (\cos^2 t + \sin^2 t) = 2^{2/3} \] Это уравнение астроиды с радиусом 2. Модуль в \( y = 2|\sin^3 t| \) гарантирует, что график находится только в верхней полуплоскости (\( y \ge 0 \)), что полностью соответствует изображению. 4. Четвертая система: \[ \begin{cases} x = 2\cos t \\ y = 2|\sin t| \end{cases} \] Это уравнение верхней полуокружности радиуса 2. График на рисунке более "вогнутый", чем окружность. Таким образом, правильным является третий вариант. Верный ответ: \[ \begin{cases} x = 2\cos^3 t \\ y = 2|\sin^3 t| \end{cases} \]