Решение задачи: Уравнение кривой в полярных координатах

Для определения уравнения кривой в полярных координатах проанализируем характерные точки на графике. На рисунке изображена кривая, симметричная относительно горизонтальной оси. Заметим координаты точек в полярной системе \( (\rho, \varphi) \): 1. При угле \( \varphi = \pi \) (направление влево) расстояние от начала координат равно 1. То есть \( \rho(\pi) = 1 \). 2. При углах \( \varphi = \frac{\pi}{2} \) (вверх) и \( \varphi = \frac{3\pi}{2} \) (вниз) расстояние от начала координат равно 4. То есть \( \rho(\frac{\pi}{2}) = 4 \) и \( \rho(\frac{3\pi}{2}) = 4 \). Проверим предложенные варианты уравнений: 1) \( \rho = 4 + 3\cos \varphi \) \[ \rho(\pi) = 4 + 3\cos(\pi) = 4 - 3 = 1 \] (подходит) \[ \rho(\frac{\pi}{2}) = 4 + 3\cos(\frac{\pi}{2}) = 4 + 0 = 4 \] (подходит) Это уравнение улитки Паскаля. График этой функции при данных параметрах выглядит именно так, как на рисунке. 2) \( \rho = \frac{4}{1 - 3\cos \varphi} \) Это уравнение гиперболы. При \( \varphi = \frac{\pi}{2} \) значение \( \rho = 4 \), но при \( \varphi = \pi \) значение \( \rho = \frac{4}{1 - 3(-1)} = \frac{4}{4} = 1 \). Однако гипербола — это разомкнутая кривая, а на рисунке мы видим часть замкнутой или плавной кривой, характерной для тригонометрических сумм. 3) \( \rho = 1 - 3\sin \varphi \) Эта кривая была бы вытянута вдоль вертикальной оси \( y \), что не соответствует рисунку. 4) \( \rho = \frac{4}{1 - \cos \varphi} \) Это уравнение параболы. У параболы при \( \varphi = \frac{\pi}{2} \) значение \( \rho = 4 \), но при \( \varphi = \pi \) значение \( \rho = \frac{4}{1 - (-1)} = 2 \), что не совпадает с точкой 1 на графике. Таким образом, первая функция полностью удовлетворяет всем ключевым точкам графика. Верный ответ: \[ \rho = 4 + 3\cos \varphi \]