Решение задачи: Эйлеров цикл или цепь в мультиграфе

Хорошо, я вижу изображение. На нём представлен мультиграф в виде матрицы смежности. Давайте проанализируем его. Матрица смежности выглядит так: ``` 0 2 0 1 0 2 2 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 1 1 0 2 0 2 0 0 1 0 2 0 1 2 0 1 0 1 0 ``` Это матрица 6x6, что означает, что в графе 6 вершин. Обозначим их как \(V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6\). Элемент \(a_{ij}\) матрицы показывает количество рёбер между вершинами \(V_i\) и \(V_j\). Для определения существования эйлерова цикла или цепи нам нужно найти степени всех вершин. Степень вершины в мультиграфе равна сумме элементов в соответствующей строке (или столбце) матрицы смежности. Давайте вычислим степени вершин: * **Степень вершины \(V_1\):** \(deg(V_1) = 0 + 2 + 0 + 1 + 0 + 2 = 5\) (нечётная) * **Степень вершины \(V_2\):** \(deg(V_2) = 2 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 4\) (чётная) * **Степень вершины \(V_3\):** \(deg(V_3) = 0 + 1 + 0 + 2 + 0 + 1 = 4\) (чётная) * **Степень вершины \(V_4\):** \(deg(V_4) = 1 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 5\) (нечётная) * **Степень вершины \(V_5\):** \(deg(V_5) = 0 + 1 + 0 + 2 + 0 + 1 = 4\) (чётная) * **Степень вершины \(V_6\):** \(deg(V_6) = 2 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 4\) (чётная) Теперь проанализируем полученные степени вершин: * \(V_1\): степень 5 (нечётная) * \(V_2\): степень 4 (чётная) * \(V_3\): степень 4 (чётная) * \(V_4\): степень 5 (нечётная) * \(V_5\): степень 4 (чётная) * \(V_6\): степень 4 (чётная) Мы видим, что в графе ровно две вершины имеют нечётную степень (\(V_1\) и \(V_4\)), а остальные вершины имеют чётную степень. Теперь вспомним правила: * **Эйлеров цикл** существует, если все вершины имеют чётную степень. В нашем случае это не так. * **Эйлерова цепь** существует, если ровно две вершины имеют нечётную степень, а остальные — чётную. Это соответствует нашему случаю. Также важно убедиться, что граф связный. Глядя на матрицу смежности, можно заметить, что граф связный, так как есть пути между всеми вершинами (например, \(V_1 - V_2 - V_3 - V_4 - V_5 - V_6 - V_1\)). Таким образом, в данном мультиграфе существует эйлерова цепь. **Выбираем верный ответ:** a. Эйлеров цикл b. Эйлерова цепь c. Нет ни эйлеровой цепи, ни цикла Верный ответ: **b. Эйлерова цепь** В тетрадь можно записать так: --- **Задача 9.** Выберите верный, на ваш взгляд, ответ и обведите кружком его номер. В данном мультиграфе существует: a. Эйлеров цикл b. Эйлерова цепь c. Нет ни эйлеровой цепи, ни цикла **Решение:** 1. **Запишем матрицу смежности мультиграфа:** \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Граф имеет 6 вершин. 2. **Вычислим степени каждой вершины:** Степень вершины \(V_i\) равна сумме элементов в \(i\)-й строке матрицы смежности. * \(deg(V_1) = 0 + 2 + 0 + 1 + 0 + 2 = 5\) (нечётная) * \(deg(V_2) = 2 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 4\) (чётная) * \(deg(V_3) = 0 + 1 + 0 + 2 + 0 + 1 = 4\) (чётная) * \(deg(V_4) = 1 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 5\) (нечётная) * \(deg(V_5) = 0 + 1 + 0 + 2 + 0 + 1 = 4\) (чётная) * \(deg(V_6) = 2 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 4\) (чётная) 3. **Проанализируем степени вершин:** В графе две вершины (\(V_1\) и \(V_4\)) имеют нечётную степень (5), а остальные четыре вершины (\(V_2, V_3, V_5, V_6\)) имеют чётную степень (4). 4. **Применим критерии существования эйлеровых путей:** * Эйлеров цикл существует в связном графе тогда и только тогда, когда степени всех его вершин чётные. (Это не наш случай) * Эйлерова цепь существует в связном графе тогда и только тогда, когда он имеет ровно две вершины нечётной степени, а остальные вершины имеют чётную степень. (Это наш случай) Граф является связным (можно убедиться, что из любой вершины можно добраться до любой другой). 5. **Вывод:** Поскольку в графе ровно две вершины нечётной степени, в нём существует эйлерова цепь. **Ответ:** b. Эйлерова цепь ---