Решение: Мода выборки и Критерий Пирсона

При использовании критерия согласия Пирсона (\( \chi^2 \)) для проверки гипотезы о законе распределения, важным этапом является группировка данных в интервалы. Число интервалов (групп) обозначается буквой \( k \). Для того чтобы результаты проверки были статистически достоверными, при выборе числа интервалов в российской математической школе и практике статистического анализа принято придерживаться следующих правил: 1. Формула Стерджеса Чаще всего для определения оптимального количества интервалов используется формула Стерджеса: \[ k = 1 + 3,322 \cdot \lg n \] Где \( n \) — объем выборки (общее количество наблюдений). Полученное значение \( k \) округляется до ближайшего целого числа. 2. Эмпирическое правило В зависимости от объема выборки \( n \), можно ориентироваться на следующие рекомендации: — При \( n \approx 50 \) выбирают \( k \approx 5 - 7 \); — При \( n \approx 100 \) выбирают \( k \approx 8 - 10 \); — При \( n > 250 \) выбирают \( k \approx 10 - 20 \). 3. Важное условие применения критерия Пирсона При разбиении на интервалы необходимо соблюдать требование к наполненности каждого интервала. Для корректного вычисления статистики \( \chi^2 \) необходимо, чтобы в каждый интервал попадало не менее 5 наблюдений: \[ n_i \ge 5 \] Если в какой-то интервал попало меньше 5 значений, его рекомендуется объединить с соседним интервалом. При этом число степеней свободы \( df \) будет рассчитываться исходя из итогового количества интервалов после объединения. Алгоритм для записи в тетрадь: 1. Определить объем выборки \( n \). 2. Вычислить \( k \) по формуле Стерджеса или выбрать исходя из объема данных. 3. Найти размах выборки: \( R = x_{max} - x_{min} \). 4. Определить длину каждого интервала: \[ h = \frac{R}{k} \] 5. Подсчитать частоты попадания вариант в каждый интервал и проверить условие \( n_i \ge 5 \).