Решение задачи: Отделить корень уравнения cos(x) = 2x

Ниже представлены решения и ответы на вопросы из вашего задания, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Отделить корень уравнения \( \cos x = 2x \). Для отделения корня перенесем все члены в одну сторону и рассмотрим функцию: \[ f(x) = \cos x - 2x \] Корень находится на том отрезке, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Проверим предложенные варианты: а) Отрезок \([-1; 1]\): \( f(-1) = \cos(-1) - 2(-1) = \cos(1) + 2 > 0 \) \( f(1) = \cos(1) - 2 \approx 0,54 - 2 = -1,46 < 0 \) Знак меняется, корень есть. Однако в вариантах есть более узкий интервал. б) Отрезок \([0; 1]\): \( f(0) = \cos(0) - 2(0) = 1 - 0 = 1 > 0 \) \( f(1) = \cos(1) - 2 \approx -1,46 < 0 \) Знак меняется. Это наиболее точный интервал из предложенных. в) Отрезок \([1; 2]\): оба значения будут отрицательными. г) Отрезок \([2; 3]\): оба значения будут отрицательными. Ответ: б) \([0; 1]\). Задание 2. На рисунке изображен численный метод уравнений. На графике видно, что исходный интервал \((b-a)\) на каждом шаге делится пополам: \((b-a)/2\), \((b-a)/4\), \((b-a)/8\). Это характерный признак метода дихотомии. Ответ: а) метод деления отрезка. Задание 3. Метод, который приводит к решению алгебраических уравнений за конечное число арифметических операций, называется: Методы, позволяющие получить точный результат за заранее известное конечное число шагов (например, метод Гаусса для систем линейных уравнений), называются прямыми методами. Ответ: б) прямой метод. Задание 4. Метод, в котором точное решение может быть получено лишь в результате бесконечного повторения единообразных действий, называется: Такие методы основаны на последовательном приближении к корню и называются итерационными. Ответ: а) итерационный метод. Задание 5. В методе итераций процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений \( x_{n-1} \) и \( x_n \) не будет обеспечено выполнение условия: Обычно итерации прекращаются, когда разность между соседними приближениями по модулю становится меньше заданной точности \( \epsilon \). Условие: \( |x_n - x_{n-1}| < \epsilon \).