Решение задачи: Метод итераций, хорд и Ньютона

Ниже представлены ответы на вопросы со второй страницы задания, оформленные для записи в тетрадь. Задание 5 (продолжение с предыдущего листа). В методе итераций процесс продолжается до выполнения условия: На фотографии видны варианты с модулем разности. Стандартным условием остановки является достижение заданной точности \( E \) (или \( \epsilon \)). Ответ: в) \( |x_n - x_{n-1}| \le E \). Задание 6. На рисунке изображен метод: На графике мы видим, что из фиксированной точки на функции проводятся линии к оси \( OX \), которые соединяют края интервала. Эти линии являются секущими (хордами). С каждым шагом одна из точек хорды приближается к корню. Ответ: а) метод хорд. Задание 7. Методом Ньютона найти корень уравнения \( x^4 - 2x - 4 = 0 \) с точностью до 0,01. Для решения оценим положение корня. Пусть \( f(x) = x^4 - 2x - 4 \). При \( x = 1 \): \( f(1) = 1 - 2 - 4 = -5 \). При \( x = 2 \): \( f(2) = 16 - 4 - 4 = 8 \). Корень находится между 1 и 2. Проверим предложенные варианты: Варианты а) 15,83 и б) 15,74 явно не подходят, так как при таких \( x \) значение \( x^4 \) будет огромным. Проверим в) 1,64: \( 1,64^4 - 2 \cdot 1,64 - 4 \approx 7,23 - 3,28 - 4 = -0,05 \). Проверим г) 1,57: \( 1,57^4 - 2 \cdot 1,57 - 4 \approx 6,07 - 3,14 - 4 = -1,07 \). Значение 1,64 гораздо ближе к нулю. При уточнении методом Ньютона корень будет приблизительно 1,65, что ближе всего к варианту в). Ответ: в) 1,64. Задание 8. Если функция \( f(x) \) представляет собой многочлен, то уравнение \( f(x) = 0 \) называется: Уравнения, в которых левая часть — это многочлен (сумма степенных функций с целыми показателями), называются алгебраическими. Если же в уравнение входят тригонометрические, показательные или логарифмические функции, оно называется трансцендентным. Ответ: б) алгебраическим.