Решение упражнения №1: Вычислить

Вот решения для каждого примера из "Упражнения № 1. Вычислить". Упражнение № 1. Вычислить 1) \(7 \cdot 10^{\log_{10} 3}\) Решение: Используем основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\). В нашем случае \(10^{\log_{10} 3} = 3\). Тогда выражение становится: \(7 \cdot 3 = 21\). Ответ: \(21\) 2) \(6 \cdot 8^{\log_8 5}\) Решение: Используем основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\). В нашем случае \(8^{\log_8 5} = 5\). Тогда выражение становится: \(6 \cdot 5 = 30\). Ответ: \(30\) 3) \(\frac{42}{2^{\log_2 3}}\) Решение: Используем основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\). В нашем случае \(2^{\log_2 3} = 3\). Тогда выражение становится: \(\frac{42}{3} = 14\). Ответ: \(14\) 4) \(\frac{54}{7^{\log_7 6}}\) Решение: Используем основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\). В нашем случае \(7^{\log_7 6} = 6\). Тогда выражение становится: \(\frac{54}{6} = 9\). Ответ: \(9\) 5) \(6^{\log_{36} 16}\) Решение: Мы знаем, что \(36 = 6^2\). Перепишем основание логарифма: \(6^{\log_{6^2} 16}\). Используем свойство логарифма: \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b\). Тогда \(\log_{6^2} 16 = \frac{1}{2} \log_6 16\). Выражение становится: \(6^{\frac{1}{2} \log_6 16}\). Используем свойство степени: \(a^{k \cdot b} = (a^k)^b\). Тогда \(6^{\frac{1}{2} \log_6 16} = (6^{\log_6 16})^{\frac{1}{2}}\). Используем основное логарифмическое тождество: \(6^{\log_6 16} = 16\). Тогда выражение становится: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Ответ: \(4\) 6) \(3^{\log_9 4}\) Решение: Мы знаем, что \(9 = 3^2\). Перепишем основание логарифма: \(3^{\log_{3^2} 4}\). Используем свойство логарифма: \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b\). Тогда \(\log_{3^2} 4 = \frac{1}{2} \log_3 4\). Выражение становится: \(3^{\frac{1}{2} \log_3 4}\). Используем свойство степени: \(a^{k \cdot b} = (a^k)^b\). Тогда \(3^{\frac{1}{2} \log_3 4} = (3^{\log_3 4})^{\frac{1}{2}}\). Используем основное логарифмическое тождество: \(3^{\log_3 4} = 4\). Тогда выражение становится: \(4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\). Ответ: \(2\) 7) \(\log_{\frac{1}{10}} \sqrt{10}\) Решение: Перепишем основание логарифма: \(\frac{1}{10} = 10^{-1}\). Перепишем аргумент логарифма: \(\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}\). Выражение становится: \(\log_{10^{-1}} 10^{\frac{1}{2}}\). Используем свойство логарифма: \(\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b\). Тогда \(\log_{10^{-1}} 10^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{-1} \log_{10} 10\). Мы знаем, что \(\log_{10} 10 = 1\). Тогда выражение становится: \(\frac{\frac{1}{2}}{-1} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\). Ответ: \(-\frac{1}{2}\) 8) \(\log_{\frac{1}{23}} \sqrt{23}\) Решение: Перепишем основание логарифма: \(\frac{1}{23} = 23^{-1}\). Перепишем аргумент логарифма: \(\sqrt{23} = 23^{\frac{1}{2}}\). Выражение становится: \(\log_{23^{-1}} 23^{\frac{1}{2}}\). Используем свойство логарифма: \(\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b\). Тогда \(\log_{23^{-1}} 23^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{-1} \log_{23} 23\). Мы знаем, что \(\log_{23} 23 = 1\). Тогда выражение становится: \(\frac{\frac{1}{2}}{-1} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\). Ответ: \(-\frac{1}{2}\) 9) \(\log_{11} 12,1 + \log_{11} 10\) Решение: Используем свойство суммы логарифмов: \(\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)\). Выражение становится: \(\log_{11} (12,1 \cdot 10)\). Вычислим произведение: \(12,1 \cdot 10 = 121\). Тогда выражение становится: \(\log_{11} 121\). Мы знаем, что \(121 = 11^2\). Тогда \(\log_{11} 11^2 = 2\). Ответ: \(2\) 10) \(\log_5 6,25 + \log_5 4\) Решение: Используем свойство суммы логарифмов: \(\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)\). Выражение становится: \(\log_5 (6,25 \cdot 4)\). Вычислим произведение: \(6,25 \cdot 4 = 25\). Тогда выражение становится: \(\log_5 25\). Мы знаем, что \(25 = 5^2\). Тогда \(\log_5 5^2 = 2\). Ответ: \(2\) 11) \(\log_3 5,4 + \log_3 5\) Решение: Используем свойство суммы логарифмов: \(\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)\). Выражение становится: \(\log_3 (5,4 \cdot 5)\). Вычислим произведение: \(5,4 \cdot 5 = 27\). Тогда выражение становится: \(\log_3 27\). Мы знаем, что \(27 = 3^3\). Тогда \(\log_3 3^3 = 3\). Ответ: \(3\) 12) \(\log_8 112 - \log_8 1,75\) Решение: Используем свойство разности логарифмов: \(\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)\). Выражение становится: \(\log_8 \left(\frac{112}{1,75}\right)\). Вычислим частное: \(\frac{112}{1,75} = \frac{112}{\frac{7}{4}} = 112 \cdot \frac{4}{7} = \frac{112 \cdot 4}{7} = \frac{448}{7} = 64\). Тогда выражение становится: \(\log_8 64\). Мы знаем, что \(64 = 8^2\). Тогда \(\log_8 8^2 = 2\). Ответ: \(2\) 13) \(\frac{\log_5 \sqrt[4]{14}}{\log_5 14}\) Решение: Перепишем аргумент логарифма в числителе: \(\sqrt[4]{14} = 14^{\frac{1}{4}}\). Выражение становится: \(\frac{\log_5 14^{\frac{1}{4}}}{\log_5 14}\). Используем свойство логарифма: \(\log_a b^m = m \log_a b\). Тогда \(\log_5 14^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \log_5 14\). Выражение становится: \(\frac{\frac{1}{4} \log_5 14}{\log_5 14}\). Сокращаем \(\log_5 14\). Тогда выражение становится: \(\frac{1}{4}\). Ответ: \(\frac{1}{4}\) 14) \(\frac{\log_5 \sqrt[3]{26}}{\log_5 26}\) Решение: Перепишем аргумент логарифма в числителе: \(\sqrt[3]{26} = 26^{\frac{1}{3}}\). Выражение становится: \(\frac{\log_5 26^{\frac{1}{3}}}{\log_5 26}\). Используем свойство логарифма: \(\log_a b^m = m \log_a b\). Тогда \(\log_5 26^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \log_5 26\). Выражение становится: \(\frac{\frac{1}{3} \log_5 26}{\log_5 26}\). Сокращаем \(\log_5 26\). Тогда выражение становится: \(\frac{1}{3}\). Ответ: \(\frac{1}{3}\)