Решение задачи 2.539: Вычисление дроби с сокращением

Задание 2.539. Вычислите значение дроби. а) \( \frac{2,16 \cdot 0,55 \cdot 4,5}{2,7 \cdot 0,15 \cdot 1,2} \) Для удобства вычислений перенесем запятые в числителе и знаменателе так, чтобы работать с целыми числами. В числителе суммарно 5 знаков после запятой (\( 2+2+1 \)), в знаменателе также 5 знаков (\( 1+2+1 \)). Умножим числитель и знаменатель на \( 100000 \): \[ \frac{216 \cdot 55 \cdot 45}{270 \cdot 15 \cdot 120} \] Начнем сокращать: 1) \( 45 \) и \( 15 \) сокращаем на \( 15 \), получаем \( 3 \) в числителе и \( 1 \) в знаменателе. 2) \( 216 \) и \( 270 \) сокращаем на \( 54 \), получаем \( 4 \) в числителе и \( 5 \) в знаменателе. 3) \( 55 \) и \( 5 \) сокращаем на \( 5 \), получаем \( 11 \) в числителе и \( 1 \) в знаменателе. Теперь выражение выглядит так: \[ \frac{4 \cdot 11 \cdot 3}{1 \cdot 1 \cdot 120} = \frac{132}{120} \] Сократим дробь на \( 12 \): \[ \frac{132 : 12}{120 : 12} = \frac{11}{10} = 1,1 \] Ответ: 1,1. б) \( \frac{2\frac{2}{3} \cdot 2\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{11}}{3\frac{3}{7} \cdot 5\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{11}} \) Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \( 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} \) \( 2\frac{3}{7} = \frac{17}{7} \) \( 3\frac{3}{7} = \frac{24}{7} \) \( 5\frac{2}{3} = \frac{17}{3} \) Запишем выражение: \[ \frac{\frac{8}{3} \cdot \frac{17}{7} \cdot \frac{9}{11}}{\frac{24}{7} \cdot \frac{17}{3} \cdot \frac{1}{11}} \] Заменим деление основной чертой дроби на умножение на обратную дробь: \[ \frac{8 \cdot 17 \cdot 9}{3 \cdot 7 \cdot 11} \cdot \frac{7 \cdot 3 \cdot 11}{24 \cdot 17 \cdot 1} \] Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: 1) \( 17 \) и \( 17 \) сокращаются. 2) \( 7 \) и \( 7 \) сокращаются. 3) \( 3 \) и \( 3 \) сокращаются. 4) \( 11 \) и \( 11 \) сокращаются. Остается: \[ \frac{8 \cdot 9}{24 \cdot 1} \] Сократим \( 8 \) и \( 24 \) на \( 8 \): \[ \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 1} = \frac{9}{3} = 3 \] Ответ: 3.