Решение задач из карточки «Входной контроль»

Ниже представлено решение заданий из карточки «Входной контроль» в удобном для переписывания виде. Задание 1. Решите систему неравенств. а) \(\begin{cases} x > 2 \\ x < 7 \end{cases}\) Ответ: \(x \in (2; 7)\). б) \(\begin{cases} 2x > -4 \\ x \le -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x \le -7 \end{cases}\) Промежутки не пересекаются. Ответ: решений нет. в) \(\begin{cases} 2t - 12 \ge 0 \\ 4 - 2t \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2t \ge 12 \\ -2t \le -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} t \ge 6 \\ t \ge 2 \end{cases}\) Общее решение: \(t \ge 6\). Ответ: \(t \in [6; +\infty)\). Задание 2. Решите систему неравенств. а) \(\begin{cases} 2x + 4 > 0 \\ x^2 + 2x - 3 \ge 0 \end{cases}\) 1) \(2x > -4 \Rightarrow x > -2\). 2) \(x^2 + 2x - 3 = 0\). По теореме Виета: \(x_1 = -3, x_2 = 1\). Ветви параболы вверх, значит \(x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)\). Пересечение: \(x \in [1; +\infty)\). Ответ: \([1; +\infty)\). Задание 3. Найдите область определения выражения. \(\sqrt{x(x-2)} + \sqrt{\frac{3-x}{x}}\) Система условий: \(\begin{cases} x(x-2) \ge 0 \\ \frac{3-x}{x} \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases}\) 1) \(x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)\). 2) Методом интервалов для \(\frac{3-x}{x} \ge 0\): точки 0 и 3. \(x \in (0; 3]\). Пересечение: \(x \in [2; 3]\). Ответ: \([2; 3]\). Задание 7. Является ли пара чисел (1; 2) решением системы? а) \(\begin{cases} 1^2 + (2-2)^2 = 1 \\ 2 \cdot 1 = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 + 0 = 1 \\ 2 = 2 \end{cases}\) (Верно) Ответ: Да. б) \(\begin{cases} 1 - 4 \cdot 2 = -7 \\ 1^2 + (3-2)^2 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -7 = -7 \\ 1 + 1 = 1 \end{cases}\) (Второе неверно: \(2 \neq 1\)) Ответ: Нет. Задание 13. Решите систему методом сложения. а) \(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 6 \end{cases}\) Сложим уравнения: \(3x = 9 \Rightarrow x = 3\). Подставим во второе: \(3 + y = 6 \Rightarrow y = 3\). Ответ: (3; 3). Задание 14. Решите систему методом подстановки. а) \(\begin{cases} y = x + 1 \\ x^2 + 2y = 1 \end{cases}\) Подставим \(y\): \(x^2 + 2(x + 1) = 1 \Rightarrow x^2 + 2x + 2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0\). \((x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1\). Тогда \(y = -1 + 1 = 0\). Ответ: (-1; 0). Задание 19. Пусть числа \(x\) и \(y\). \(\begin{cases} x + y = 13 \\ xy = 40 \end{cases}\) По теореме Виета это корни уравнения \(t^2 - 13t + 40 = 0\). \(D = 169 - 160 = 9\). \(t_1 = \frac{13+3}{2} = 8\), \(t_2 = \frac{13-3}{2} = 5\). Ответ: 5 и 8. Задание 20. Пусть \(v\) — собств. скорость, \(u\) — скорость течения. \(\begin{cases} (v + u) \cdot 1 = 20 \\ (v - u) \cdot 2 = 20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} v + u = 20 \\ v - u = 10 \end{cases}\) Сложим: \(2v = 30 \Rightarrow v = 15\) км/ч. Вычтем: \(2u = 10 \Rightarrow u = 5\) км/ч. Ответ: 15 км/ч и 5 км/ч. Задание 21. Пусть катеты \(a\) и \(b\). \(\begin{cases} a^2 + b^2 = 10^2 \\ \frac{1}{2}ab = 24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 + b^2 = 100 \\ ab = 48 \end{cases}\) \((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 100 + 96 = 196 \Rightarrow a+b = 14\). Числа, сумма которых 14, а произведение 48 — это 6 и 8. Ответ: 6 см и 8 см.