Решение задачи: плоскости α ⊥ β, найти AB (Вариант 2)

Вариант 2 Задача 1 Дано: плоскости \(\alpha \perp \beta\). Точка \(A \in \alpha\), расстояние от \(A\) до \(\beta\) равно \(d\). Точка \(B \in \beta\), расстояние от \(B\) до \(\alpha\) равно \(d\). Найти: \(AB\). Решение: Пусть плоскости пересекаются по прямой \(c\). Опустим перпендикуляр \(AA_1\) из точки \(A\) на плоскость \(\beta\). Так как плоскости перпендикулярны, точка \(A_1\) лежит на прямой \(c\), и \(AA_1 = d\). Аналогично, опустим перпендикуляр \(BB_1\) из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\). Точка \(B_1\) лежит на прямой \(c\), и \(BB_1 = d\). Рассмотрим проекции на прямую \(c\). Отрезок \(A_1B\) лежит в плоскости \(\beta\). В прямоугольном треугольнике \(AA_1B\) (где \(\angle AA_1B = 90^\circ\)): \[AB = \sqrt{AA_1^2 + A_1B^2}\] Так как \(BB_1 \perp \alpha\), то \(BB_1 \perp A_1B_1\). В прямоугольном треугольнике \(BB_1A_1\): \[A_1B^2 = BB_1^2 + A_1B_1^2\] Если предположить, что проекции точек на линию пересечения совпадают или рассматривается минимальное расстояние при заданных условиях (когда \(A_1B_1\) — это проекция расстояния между точками вдоль линии пересечения), то в общем виде: \[AB = \sqrt{d^2 + d^2 + x^2}\] где \(x\) — расстояние между проекциями точек на линию пересечения. Если точки лежат в одной плоскости, перпендикулярной линии пересечения (\(x=0\)): \[AB = \sqrt{d^2 + d^2} = d\sqrt{2}\] Ответ: \(d\sqrt{2}\) (при условии перпендикулярности проекций). Рисунок 1: Изобразите две пересекающиеся под прямым углом плоскости. Отметьте точку А в вертикальной плоскости и точку B в горизонтальной. Проведите перпендикуляры к линии пересечения. Задача 2 Дано: прямоугольный параллелепипед, измерения \(a = 8\) см, \(b = 9\) см, \(c = 12\) см. Найти: диагональ \(D\). Решение: Диагональ прямоугольного параллелепипеда находится по формуле: \[D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\] Подставим значения: \[D = \sqrt{8^2 + 9^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 81 + 144} = \sqrt{289} = 17 \text{ см}\] Ответ: 17 см. Рисунок 2: Нарисуйте параллелепипед и проведите линию из одного нижнего угла в противоположный верхний угол. Задача 3 Доказательство: Пусть \(\alpha \perp \beta\), \(\alpha \cap \beta = c\). Возьмем прямую \(a \subset \alpha\), такую что \(a \perp c\). Пусть \(A\) — точка пересечения прямой \(a\) и прямой \(c\). Проведем в плоскости \(\beta\) прямую \(b \perp c\) через точку \(A\). Так как \(\angle(a, b)\) является линейным углом двугранного угла между плоскостями, а плоскости перпендикулярны, то \(a \perp b\). Имеем: прямая \(a\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(c\) и \(b\) плоскости \(\beta\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, \(a \perp \beta\). Что и требовалось доказать. Рисунок 3: Две перпендикулярные плоскости, прямая \(c\) на стыке, прямая \(a\) вертикально в одной из них. Задача 4 Дано: \(h_1 = 12\) см, \(h_2 = 19\) см, расстояние между основаниями \(L = 20\) см. Найти: расстояние между концами \(S\). Решение: Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную перпендикулярами и расстоянием между ними. Разность высот: \[\Delta h = 19 - 12 = 7 \text{ см}\] Расстояние между концами (гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(L\) и \(\Delta h\)): \[S = \sqrt{L^2 + (\Delta h)^2} = \sqrt{20^2 + 7^2} = \sqrt{400 + 49} = \sqrt{449} \approx 21,2 \text{ см}\] Ответ: \(\sqrt{449}\) см. Рисунок 4: Нарисуйте горизонтальную линию (плоскость), из нее вверх два вертикальных отрезка разной длины. Соедините их верхние концы. Задача 5 Дано: \(\triangle ABC\) — правильный, \(O\) — центр, \(OM \perp ABC\), \(OM = 10\), \(\angle MCO = 30^\circ\). Найти: \(MA\) (расстояние до вершин). Решение: 1) Рассмотрим прямоугольный \(\triangle MOC\) (\(\angle MOC = 90^\circ\), так как \(OM\) — перпендикуляр). 2) По определению тангенса: \[\tan(\angle MCO) = \frac{OM}{OC}\] \[\tan(30^\circ) = \frac{10}{OC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{OC} \Rightarrow OC = 10\sqrt{3}\] 3) В прямоугольном \(\triangle MOC\) по теореме Пифагора: \[MC = \sqrt{OM^2 + OC^2} = \sqrt{10^2 + (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 300} = \sqrt{400} = 20\] Так как \(O\) — центр правильного треугольника, то \(OA = OB = OC\), следовательно, \(MA = MB = MC = 20\). Ответ: 20. Рисунок 5: Нарисуйте треугольник в перспективе, точку \(O\) в центре, вертикальный отрезок \(OM\) вверх и соедините \(M\) с вершинами.