Задача 4
Пусть \(A\) = «Первая буква имени — гласная», \(B\) = «Четвёртая буква имени — согласная». Найдите значение логического выражения \(A \lor B\) для следующих имён:
Для решения этой задачи нам нужно определить истинность высказываний \(A\) и \(B\) для каждого имени, а затем найти значение дизъюнкции \(A \lor B\). Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из высказываний \(A\) или \(B\) истинно.
Гласные буквы: А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я.
Согласные буквы: Б, В, Г, Д, Ж, З, Й, К, Л, М, Н, П, Р, С, Т, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ.
а) ЕЛЕНА;
- Первая буква: Е (гласная). Значит, \(A\) — истинно (И).
- Четвёртая буква: Н (согласная). Значит, \(B\) — истинно (И).
- \(A \lor B\) = И \(\lor\) И = И.
Ответ: Истина.
б) ВАДИМ;
- Первая буква: В (согласная). Значит, \(A\) — ложно (Л).
- Четвёртая буква: И (гласная). Значит, \(B\) — ложно (Л).
- \(A \lor B\) = Л \(\lor\) Л = Л.
Ответ: Ложь.
в) АНТОН;
- Первая буква: А (гласная). Значит, \(A\) — истинно (И).
- Четвёртая буква: О (гласная). Значит, \(B\) — ложно (Л).
- \(A \lor B\) = И \(\lor\) Л = И.
Ответ: Истина.
г) ФЁДОР.
- Первая буква: Ф (согласная). Значит, \(A\) — ложно (Л).
- Четвёртая буква: О (гласная). Значит, \(B\) — ложно (Л).
- \(A \lor B\) = Л \(\lor\) Л = Л.
Ответ: Ложь.
Задача 5
Пусть \(A\) = «\(X < 3\)», \(B\) = «\(X \ge 5\)». Найдите значение логического выражения \(\overline{A} \land \overline{B}\) для следующих значений числа \(X\):
Сначала определим, что означают \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\):
- \(\overline{A}\) — это отрицание высказывания \(A\). Если \(A\) = «\(X < 3\)», то \(\overline{A}\) = «\(X \ge 3\)».
- \(\overline{B}\) — это отрицание высказывания \(B\). Если \(B\) = «\(X \ge 5\)», то \(\overline{B}\) = «\(X < 5\)».
Теперь нам нужно найти значение конъюнкции \(\overline{A} \land \overline{B}\), что эквивалентно «\(X \ge 3\) и \(X < 5\)». Это означает, что \(X\) должно быть больше или равно 3, и одновременно меньше 5. То есть, \(3 \le X < 5\).
а) \(X = 2\);
- Проверяем условие \(3 \le X < 5\): \(3 \le 2 < 5\). Это ложно, так как \(2\) не больше или равно \(3\).
Ответ: Ложь.
б) \(X = 3\);
- Проверяем условие \(3 \le X < 5\): \(3 \le 3 < 5\). Это истинно, так как \(3\) равно \(3\) и меньше \(5\).
Ответ: Истина.
в) \(X = 4\);
- Проверяем условие \(3 \le X < 5\): \(3 \le 4 < 5\). Это истинно, так как \(4\) больше \(3\) и меньше \(5\).
Ответ: Истина.
г) \(X = 5\);
- Проверяем условие \(3 \le X < 5\): \(3 \le 5 < 5\). Это ложно, так как \(5\) не меньше \(5\).
Ответ: Ложь.
д) \(X = 6\).
- Проверяем условие \(3 \le X < 5\): \(3 \le 6 < 5\). Это ложно, так как \(6\) не меньше \(5\).
Ответ: Ложь.
Задача 6
Пусть \(M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(K = \{1, 3, 5\}\), \(P = \{2, 4, 6, 7, 8\}\). Запишите в фигурных скобках область истинности следующих высказывательных форм:
а) \((x \in M) \land (x \in P)\);
Это означает, что \(x\) должен принадлежать множеству \(M\) И одновременно принадлежать множеству \(P\). То есть, нам нужно найти пересечение множеств \(M\) и \(P\).
\(M \cap P = \{x \mid x \in M \text{ и } x \in P\}\)
\(M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
\(P = \{2, 4, 6, 7, 8\}\)
Общие элементы: \(2, 4, 6\).
Ответ: \(\{2, 4, 6\}\).
б) \((x \in K) \land (x \in P)\);
Это означает, что \(x\) должен принадлежать множеству \(K\) И одновременно принадлежать множеству \(P\). То есть, нам нужно найти пересечение множеств \(K\) и \(P\).
\(K \cap P = \{x \mid x \in K \text{ и } x \in P\}\)
\(K = \{1, 3, 5\}\)
\(P = \{2, 4, 6, 7, 8\}\)
Общих элементов нет.
Ответ: \(\emptyset\) (пустое множество).
в) \(x \in M \cap P\);
Это выражение уже означает принадлежность элемента \(x\) к пересечению множеств \(M\) и \(P\). Мы уже нашли это пересечение в пункте а).
\(M \cap P = \{2, 4, 6\}\).
Ответ: \(\{2, 4, 6\}\).
г) \(x \in K \cup P\).
Это означает принадлежность элемента \(x\) к объединению множеств \(K\) и \(P\). Объединение включает все элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств.
\(K \cup P = \{x \mid x \in K \text{ или } x \in P\}\)
\(K = \{1, 3, 5\}\)
\(P = \{2, 4, 6, 7, 8\}\)
Объединяем все уникальные элементы из обоих множеств:
Ответ: \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\).