Решение задачи: Параллелограмм и прямоугольный треугольник

Ниже представлено решение задач 1-го варианта, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \(h_1 = 2\) см, \(h_2 = 6\) см — высоты параллелограмма. \(S = 48\) \(см^2\) — площадь параллелограмма. Найти: \(a, b\) — стороны параллелограмма. Решение: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[S = a \cdot h_a\] Отсюда стороны равны: \[a = \frac{S}{h_1} = \frac{48}{2} = 24 \text{ (см)}\] \[b = \frac{S}{h_2} = \frac{48}{6} = 8 \text{ (см)}\] Ответ: 24 см и 8 см. Задача 2. Дано: Треугольник прямоугольный. \(\alpha = 60^\circ\) — угол. \(a = 9\) см — катет, лежащий против угла \(60^\circ\). Найти: \(b\) (второй катет), \(S\) (площадь). Решение: 1) В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла: \[\tan(60^\circ) = \frac{a}{b} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{9}{b} \Rightarrow b = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ (см)}\] 2) Площадь прямоугольного треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 13,5\sqrt{3} \text{ (см}^2)\] Ответ: \(3\sqrt{3}\) см; \(13,5\sqrt{3}\) \(см^2\). Задача 3. Дано: Трапеция равнобедренная. \(a = 6\) см, \(b = 14\) см — основания. \(c = 5\) см — боковая сторона. Найти: \(S\) (площадь). Решение: 1) Проведем высоты из вершин верхнего основания. Отрезок на нижнем основании будет равен: \[x = \frac{b - a}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4 \text{ (см)}\] 2) Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем высоту \(h\): \[h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ (см)}\] 3) Площадь трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{6 + 14}{2} \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ (см}^2)\] Ответ: 30 \(см^2\). Задача 4. Дано: \(\triangle ABC\), \(M \in AB\), \(P \in BC\). \(MP \perp AB\). \(BM = 5\) см, \(BP = 8\) см, \(BC = 24\) см. Найти: а) \(AB\); б) \(\frac{S_{MPB}}{S_{ABC}}\). Решение: а) Рассмотрим \(\triangle MPB\) (прямоугольный, \(\angle M = 90^\circ\)) и \(\triangle ABC\). У них общий угол \(B\). Однако, чтобы треугольники были подобны, нам нужно знать, что \(\angle C = 90^\circ\) или \(MP \parallel AC\). Из условия прямой перпендикулярности и расположения точек следует подобие \(\triangle MPB \sim \triangle ABC\) по общему углу \(B\) и прямому углу (предполагая стандартную задачу, где \(AC\) — гипотенуза или задан прямой угол). Если \(\triangle MPB \sim \triangle ABC\), то: \[\frac{BM}{BC} = \frac{BP}{AB} \Rightarrow \frac{5}{24} = \frac{8}{AB}\] \[AB = \frac{24 \cdot 8}{5} = \frac{192}{5} = 38,4 \text{ (см)}\] б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \(k\): \[k = \frac{BM}{BC} = \frac{5}{24}\] \[\frac{S_{MPB}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{5}{24}\right)^2 = \frac{25}{576}\] Ответ: а) 38,4 см; б) 25:576.