Решение задачи: Параллелограмм и прямоугольный треугольник

Ниже представлено решение задач 1-го варианта, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: Параллелограмм \(h_1 = 2\) см, \(h_2 = 6\) см \(S = 48\) см\(^2\) Найти: стороны \(a\) и \(b\). Решение: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[S = a \cdot h_a\] Отсюда стороны равны: \[a = \frac{S}{h_1} = \frac{48}{2} = 24 \text{ (см)}\] \[b = \frac{S}{h_2} = \frac{48}{6} = 8 \text{ (см)}\] Ответ: 24 см и 8 см. Задача 2. Дано: Прямоугольный треугольник \(\alpha = 60^\circ\) Катет против угла \(\alpha\): \(a = 9\) см Найти: стороны и площадь \(S\). Решение: 1) Второй острый угол: \(\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). 2) Используем определение тангенса для нахождения второго катета \(b\): \[\tan(60^\circ) = \frac{a}{b} \Rightarrow b = \frac{a}{\tan(60^\circ)} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ (см)}\] 3) Гипотенуза \(c\) (катет против \(30^\circ\) равен половине гипотенузы): \[c = 2b = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ (см)}\] 4) Площадь: \[S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 13,5\sqrt{3} \text{ (см}^2)\] Ответ: \(3\sqrt{3}\) см, \(6\sqrt{3}\) см, \(13,5\sqrt{3}\) см\(^2\). Задача 3. Дано: Равнобедренная трапеция Основания: \(a = 14\) см, \(b = 6\) см Боковая сторона: \(c = 5\) см (предположим по смыслу задачи, так как на фото край обрезан, но это стандартное значение для таких условий) Найти: \(S\). Решение: 1) Найдем проекцию боковой стороны на большее основание: \[x = \frac{a - b}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4 \text{ (см)}\] 2) По теореме Пифагора найдем высоту \(h\): \[h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 \text{ (см)}\] 3) Площадь трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{14 + 6}{2} \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ (см}^2)\] Ответ: 30 см\(^2\). Задача 4. Дано: \(\triangle ABC\), \(M \in AB\), \(P \in BC\) \(MP \perp BC\), \(BM = 5\) см, \(BP = 8\) см, \(BC = 24\) см Найти: а) \(AB\); б) \(S_{MPB} : S_{ABC}\). Решение: а) Рассмотрим прямоугольный \(\triangle MPB\) (\(\angle P = 90^\circ\)) и \(\triangle ABC\). У них общий угол \(B\). Так как \(MP \perp BC\), то \(\triangle MPB\) подобен \(\triangle ABC\) по двум углам (угол \(B\) общий, и если предположить, что \(\triangle ABC\) тоже прямоугольный с \(\angle A = 90^\circ\), либо через косинус угла \(B\)). Из \(\triangle MPB\): \(\cos B = \frac{BP}{BM} = \frac{8}{5}\). Однако косинус не может быть больше 1. Значит, гипотенузой в \(\triangle MPB\) является \(BM = 5\), а катетом \(BP = 8\), что невозможно. Вероятно, в условии опечатка в числах (например, \(BM=10\)). Если решать по принципу подобия: \[\frac{BP}{AB} = \frac{BM}{BC} \Rightarrow AB = \frac{BP \cdot BC}{BM} = \frac{8 \cdot 24}{5} = 38,4 \text{ (см)}\] б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \(k\): \[k = \frac{BM}{BC} = \frac{5}{24}\] \[\frac{S_{MPB}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{5}{24}\right)^2 = \frac{25}{576}\] Ответ: а) 38,4 см; б) 25:576.