Решение задачи 609: Площадь параллелограмма

Задача №609 Дано: ABCD — параллелограмм; \( AB = 29 \) см (меньшая сторона); \( O \) — точка пересечения диагоналей; \( OH \perp AD \); \( AH = 33 \) см, \( HD = 12 \) см (или наоборот). Найти: \( S_{ABCD} \) Решение: 1. Найдем длину большей стороны \( AD \): \[ AD = AH + HD = 33 + 12 = 45 \text{ (см)} \] 2. Проведем высоту параллелограмма \( BK \) из вершины \( B \) к стороне \( AD \). Рассмотрим треугольник \( AOD \). Точка \( O \) является серединой диагонали \( AC \). Проведем из точки \( C \) перпендикуляр к прямой \( AD \), пусть это будет \( CM \). Так как \( O \) — середина \( AC \), то перпендикуляр \( OH \), проведенный из середины диагонали к стороне, является средней линией прямоугольной трапеции (или треугольника в проекции). Высота параллелограмма \( h = BK \). Из свойств подобия или средних линий следует, что высота \( OH \) треугольника \( AOD \) равна половине высоты параллелограмма \( BK \). \[ BK = 2 \cdot OH \] 3. Чтобы найти \( OH \), нам нужно сначала найти положение точки \( K \). Пусть \( AK = x \). Тогда из прямоугольного треугольника \( ABK \) по теореме Пифагора: \[ BK^2 = AB^2 - AK^2 = 29^2 - x^2 \] В параллелограмме проекция диагонали и сторон связана геометрически. Однако проще воспользоваться тем, что \( H \) — это проекция середины диагонали. Координата точки \( A \) пусть будет \( 0 \). Тогда координата \( D \) равна \( 45 \). Координата проекции точки \( C \) на прямую \( AD \) будет \( x + 45 \). Проекция точки \( O \) (середины \( AC \)) на \( AD \) вычисляется как: \[ H = \frac{x + 45}{2} \] По условию \( AH = 33 \) или \( AH = 12 \). Если \( AH = 33 \): \[ 33 = \frac{x + 45}{2} \] \[ 66 = x + 45 \] \[ x = 21 \] Проверим: если \( x = 21 \), то \( AK = 21 \). Тогда из треугольника \( ABK \): \[ BK^2 = 29^2 - 21^2 = (29 - 21)(29 + 21) = 8 \cdot 50 = 400 \] \[ BK = \sqrt{400} = 20 \text{ (см)} \] (Если бы мы взяли \( AH = 12 \), то \( 12 = \frac{x + 45}{2} \Rightarrow x = -21 \), что означает, что высота падает вне отрезка \( AD \), но результат для высоты был бы таким же). 4. Вычислим площадь параллелограмма: \[ S = AD \cdot BK \] \[ S = 45 \cdot 20 = 900 \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: 900 \( \text{см}^2 \).