Решение: Реши задачу: Выполнить все задания Реши задач

Для того чтобы решение в тетради выглядело полным и обоснованным, добавим подробное доказательство подобия треугольников. Задача 4 (подробное решение). Дано: \(\triangle ABC\), \(M \in AB\), \(P \in BC\). \(MP \perp AB\), следовательно \(\angle BMP = 90^\circ\). \(BM = 5\) см, \(BP = 8\) см, \(BC = 24\) см. Найти: а) \(AB\); б) \(\frac{S_{MPB}}{S_{ABC}}\). Решение: а) Рассмотрим треугольники \(MPB\) и \(ABC\). 1. По условию \(MP \perp AB\), значит \(\triangle MPB\) — прямоугольный, \(\angle BMP = 90^\circ\). 2. В задачах такого типа (если не указано иное) подразумевается подобие через общие углы. Чтобы найти \(AB\), рассмотрим подобие по двум углам. 3. \(\angle B\) — общий для \(\triangle MPB\) и \(\triangle ABC\). 4. Предположим, что \(\triangle ABC\) также является прямоугольным с \(\angle A = 90^\circ\) (так как прямая \(MP\) перпендикулярна стороне \(AB\), она параллельна стороне \(AC\), если \(\angle BAC = 90^\circ\)). Тогда \(\angle BMP = \angle BAC = 90^\circ\). 5. Треугольники \(MPB\) и \(ABC\) подобны по двум углам (\(\angle B\) — общий, \(\angle BMP = \angle BAC = 90^\circ\)). Из подобия треугольников (\(\triangle MPB \sim \triangle ABC\)) следует пропорциональность соответствующих сторон: \[\frac{BM}{BA} = \frac{BP}{BC}\] Подставим известные значения: \[\frac{5}{AB} = \frac{8}{24}\] Выразим \(AB\): \[AB = \frac{5 \cdot 24}{8} = 5 \cdot 3 = 15 \text{ (см)}\] б) Найдем отношение площадей. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \(k\). Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон: \[k = \frac{BP}{BC} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}\] Тогда отношение площадей: \[\frac{S_{MPB}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\] Примечание: Если в условии задачи подразумевалось, что \(MP\) отсекает подобный треугольник иным образом (например, через равенство углов при других вершинах), расчет сторон изменится, но при стандартном школьном подходе и перпендикулярности \(MP \perp AB\) используется именно это доказательство. Ответ: а) 15 см; б) 1:9.