Задача 3.
Основания трапеции равны 18 и 6 см, боковая сторона, равная 14 см, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания. AD = 18 см (большее основание) BC = 6 см (меньшее основание) Пусть боковая сторона AB = 14 см. Угол, который боковая сторона AB образует с одним из оснований, равен 150°. Поскольку угол 150° является тупым, он может быть углом при большем основании (например, угол DAB) или углом при меньшем основании (например, угол ABC). В данном случае, если угол при большем основании равен 150°, то трапеция будет выглядеть "наклоненной" влево. Если угол при меньшем основании равен 150°, то трапеция будет "наклоненной" вправо. Для нахождения площади это не принципиально, так как высота будет одинаковой.
Давайте предположим, что угол при основании AD, то есть \(\angle DAB = 150^\circ\).
Для нахождения площади трапеции нам нужна высота. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH угол \(\angle BAH\) будет смежным с углом \(\angle DAB\), если точка H лежит на отрезке AD. Однако, если \(\angle DAB = 150^\circ\), то угол при вершине A внутри треугольника ABH будет \(\angle HAB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Это возможно, если точка H лежит на продолжении основания AD за точку A. Но это неверно, так как высота должна быть внутри трапеции или на ее границе.
Давайте рассмотрим другой вариант: боковая сторона AB образует угол 150° с меньшим основанием BC. То есть \(\angle ABC = 150^\circ\). Тогда угол при основании AD, \(\angle BAD\), будет острым. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH, угол \(\angle BAH\) нам неизвестен. Однако, мы знаем, что сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°. Значит, \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\). Если \(\angle ABC = 150^\circ\), то \(\angle DAB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\).
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где BH — высота трапеции. Гипотенуза AB = 14 см. Угол \(\angle BAH = 30^\circ\). Высота BH является катетом, противолежащим углу \(\angle BAH\).
Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
\[ \sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB} \] \[ \sin(30^\circ) = \frac{BH}{14} \]Мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\).
\[ \frac{1}{2} = \frac{BH}{14} \]Отсюда находим высоту BH:
\[ BH = 14 \times \frac{1}{2} \] \[ BH = 7 \text{ см} \]Теперь, когда мы знаем высоту трапеции, мы можем найти ее площадь. Формула площади трапеции:
\[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]где \(a\) и \(b\) — длины оснований, \(h\) — высота.
Подставляем известные значения:
\[ S = \frac{18 + 6}{2} \times 7 \] \[ S = \frac{24}{2} \times 7 \] \[ S = 12 \times 7 \] \[ S = 84 \text{ см}^2 \]Ответ:
Площадь трапеции равна 84 см\(^2\).