Решение задачи: Выражение катета и гипотенузы через катет и угол

Задание №700 Дано: прямоугольный треугольник, катет \( b \), противолежащий ему угол \( \beta \). а) Выразить другой катет и гипотенузу через \( b \) и \( \beta \). Решение: Пусть \( a \) — второй катет, \( c \) — гипотенуза. 1. По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника: \[ \text{tg } \beta = \frac{b}{a} \] Отсюда выражаем катет \( a \): \[ a = \frac{b}{\text{tg } \beta} \] Также это можно записать через котангенс: \[ a = b \cdot \text{ctg } \beta \] 2. По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника: \[ \sin \beta = \frac{b}{c} \] Отсюда выражаем гипотенузу \( c \): \[ c = \frac{b}{\sin \beta} \] Ответ: \( a = \frac{b}{\text{tg } \beta} \); \( c = \frac{b}{\sin \beta} \). --- Задание в) Дано: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Найти \( \cos \alpha \) и \( \text{tg } \alpha \). Решение: 1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \): \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \] Так как \( \alpha \) — острый угол прямоугольного треугольника, то \( \cos \alpha > 0 \): \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] 2. Найдем тангенс: \[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3} \] Ответ: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \); \( \text{tg } \alpha = \sqrt{3} \). --- Задание г) Дано: \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \). Найти \( \cos \alpha \) и \( \text{tg } \alpha \). Решение: 1. Из основного тригонометрического тождества: \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] Так как \( \alpha \) — острый угол: \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \] 2. Найдем тангенс: \[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{4} : \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15} \] Ответ: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \); \( \text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15} \).