Решение задачи №700 (б) по геометрии 8 класс

Для школьника 8 класса решение должно быть максимально понятным, с использованием определений синуса, косинуса и тангенса, которые изучаются в курсе геометрии. Задание №700 (б) Условие: В прямоугольном треугольнике катет \( b = 10 \) см, а противолежащий ему угол \( \beta = 50^\circ \). Найдите другой катет и гипотенузу. Решение: Пусть \( a \) — неизвестный катет, \( c \) — гипотенуза. 1. Воспользуемся определением тангенса: тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. \[ \text{tg } \beta = \frac{b}{a} \] Отсюда выражаем катет \( a \): \[ a = \frac{b}{\text{tg } \beta} \] Подставляем значения: \[ a = \frac{10}{\text{tg } 50^\circ} \] По таблице тангенсов (или с помощью калькулятора) \( \text{tg } 50^\circ \approx 1,1918 \): \[ a \approx \frac{10}{1,1918} \approx 8,39 \text{ (см)} \] 2. Воспользуемся определением синуса: синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. \[ \sin \beta = \frac{b}{c} \] Отсюда выражаем гипотенузу \( c \): \[ c = \frac{b}{\sin \beta} \] Подставляем значения: \[ c = \frac{10}{\sin 50^\circ} \] По таблице синусов \( \sin 50^\circ \approx 0,7660 \): \[ c \approx \frac{10}{0,7660} \approx 13,05 \text{ (см)} \] Ответ: \( a \approx 8,39 \) см; \( c \approx 13,05 \) см. --- Задание в) Условие: Найти \( \cos \alpha \) и \( \text{tg } \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Решение: 1. Основное тригонометрическое тождество гласит: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим значение синуса: \[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{3}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{4} \] Так как \( \alpha \) — острый угол прямоугольного треугольника, его косинус положителен: \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] 2. Теперь найдем тангенс по формуле: \[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] \[ \text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3} \] Ответ: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \); \( \text{tg } \alpha = \sqrt{3} \).