Вывод формулы изменения массы в СТО при произвольном угле

Давайте выведем формулу изменения массы для произвольного угла между вектором скорости и силы в Специальной Теории Относительности (СТО). Для начала вспомним основные положения СТО, которые нам понадобятся: 1. **Релятивистский импульс:** \[ \vec{p} = \gamma m_0 \vec{v} \] где \(m_0\) — масса покоя частицы, \(\vec{v}\) — вектор скорости, а \(\gamma\) — лоренц-фактор, определяемый как: \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] где \(v\) — модуль скорости, \(c\) — скорость света в вакууме. 2. **Второй закон Ньютона в релятивистской форме:** \[ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} \] где \(\vec{F}\) — сила, \(\vec{p}\) — релятивистский импульс, \(t\) — время. 3. **Релятивистская энергия:** \[ E = \gamma m_0 c^2 \] Также известно, что изменение энергии равно работе силы: \[ dE = \vec{F} \cdot d\vec{r} = \vec{F} \cdot \vec{v} dt \] где \(d\vec{r}\) — элементарное перемещение. Теперь приступим к выводу. Шаг 1: Выразим изменение энергии через релятивистский импульс. Мы знаем, что \(E = \gamma m_0 c^2\). Также мы знаем, что \(E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2\). Продифференцируем это выражение по времени \(t\): \[ 2E \frac{dE}{dt} = 2pc \frac{d(pc)}{dt} + 0 \] \[ E \frac{dE}{dt} = pc \frac{d(pc)}{dt} \] Подставим \(E = \gamma m_0 c^2\) и \(p = \gamma m_0 v\): \[ \gamma m_0 c^2 \frac{dE}{dt} = (\gamma m_0 v c) \frac{d(\gamma m_0 v c)}{dt} \] \[ \gamma m_0 c^2 \frac{dE}{dt} = \gamma m_0 v c^2 \frac{d(\gamma m_0 v)}{dt} \] \[ \frac{dE}{dt} = v \frac{d(\gamma m_0 v)}{dt} \] Мы знаем, что \(\vec{F} \cdot \vec{v} = \frac{dE}{dt}\). Значит, \[ \vec{F} \cdot \vec{v} = v \frac{d(\gamma m_0 v)}{dt} \] Это выражение пока не очень удобно, так как \(\vec{F} \cdot \vec{v}\) — это скалярное произведение, а \(v \frac{d(\gamma m_0 v)}{dt}\) — это производная от модуля импульса, умноженная на модуль скорости. Давайте вернемся к основному уравнению \(\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\) и выражению для энергии \(E = \gamma m_0 c^2\). Шаг 2: Дифференцируем релятивистскую энергию по времени. \[ \frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} (\gamma m_0 c^2) = m_0 c^2 \frac{d\gamma}{dt} \] Мы знаем, что \(\gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}\). Найдем производную \(\frac{d\gamma}{dt}\): \[ \frac{d\gamma}{dt} = -\frac{1}{2} (1 - v^2/c^2)^{-3/2} \cdot (-\frac{2v}{c^2}) \frac{dv}{dt} \] \[ \frac{d\gamma}{dt} = \frac{v}{c^2} (1 - v^2/c^2)^{-3/2} \frac{dv}{dt} \] \[ \frac{d\gamma}{dt} = \frac{v}{c^2} \gamma^3 \frac{dv}{dt} \] Теперь подставим это в выражение для \(\frac{dE}{dt}\): \[ \frac{dE}{dt} = m_0 c^2 \left( \frac{v}{c^2} \gamma^3 \frac{dv}{dt} \right) = m_0 v \gamma^3 \frac{dv}{dt} \] Мы также знаем, что \(\frac{dE}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}\). Значит, \[ \vec{F} \cdot \vec{v} = m_0 v \gamma^3 \frac{dv}{dt} \] Это уравнение связывает скалярное произведение силы на скорость с изменением модуля скорости. Шаг 3: Выразим изменение массы. В СТО часто вводят понятие релятивистской массы \(m = \gamma m_0\). Тогда энергия \(E = m c^2\). Дифференцируем по времени: \[ \frac{dE}{dt} = c^2 \frac{dm}{dt} \] Приравниваем это к \(\vec{F} \cdot \vec{v}\): \[ \vec{F} \cdot \vec{v} = c^2 \frac{dm}{dt} \] Отсюда получаем формулу для изменения релятивистской массы: \[ \frac{dm}{dt} = \frac{\vec{F} \cdot \vec{v}}{c^2} \] Это и есть искомая формула. Она показывает, что скорость изменения релятивистской массы частицы пропорциональна мощности, развиваемой силой \(\vec{F}\) над частицей (\(\vec{F} \cdot \vec{v}\) — это мощность). **Пояснение для школьника:** Представь, что у тебя есть мячик. Если ты его толкаешь (прикладываешь силу \(\vec{F}\)) в том же направлении, куда он уже летит (направление скорости \(\vec{v}\)), то он будет ускоряться, и его скорость будет расти. В обычной жизни мы говорим, что его масса не меняется. Но в мире, где скорости очень большие, близкие к скорости света (как в СТО), происходит кое-что интересное. Когда ты толкаешь мячик, его скорость растет, но вместе с этим растет и его "релятивистская масса" (\(m\)). Чем быстрее он движется, тем "тяжелее" он становится, и тем труднее его разогнать еще сильнее. Формула, которую мы вывели: \[ \frac{dm}{dt} = \frac{\vec{F} \cdot \vec{v}}{c^2} \] говорит нам, как быстро меняется эта "релятивистская масса" (\(m\)) со временем (\(t\)). * \(\frac{dm}{dt}\) — это скорость изменения массы. Если она положительная, масса увеличивается; если отрицательная, уменьшается. * \(\vec{F}\) — это сила, которую ты прикладываешь к мячику. * \(\vec{v}\) — это скорость мячика. * \(\vec{F} \cdot \vec{v}\) — это скалярное произведение силы на скорость. Оно показывает, насколько эффективно сила "работает" над мячиком. * Если сила направлена точно по скорости (угол 0 градусов), то \(\vec{F} \cdot \vec{v} = Fv\). Масса будет расти максимально быстро. * Если сила направлена перпендикулярно скорости (угол 90 градусов), то \(\vec{F} \cdot \vec{v} = 0\). В этом случае сила меняет только направление скорости, но не ее модуль, и релятивистская масса не меняется. * Если сила направлена против скорости (угол 180 градусов), то \(\vec{F} \cdot \vec{v} = -Fv\). Масса будет уменьшаться, так как мячик замедляется. * \(c^2\) — это квадрат скорости света. Это очень большое число, поэтому изменение массы заметно только при очень больших скоростях или очень больших силах. Таким образом, эта формула показывает, что изменение релятивистской массы частицы зависит от того, какую "работу" совершает сила над частицей в единицу времени (мощность), и эта работа переходит в увеличение или уменьшение релятивистской массы.