Вывод формулы изменения массы в СТО при произвольном угле

Давайте выведем формулу изменения массы для произвольного угла между вектором скорости и силы в Специальной Теории Относительности (СТО). Для начала вспомним основные положения СТО, которые нам понадобятся: 1. **Релятивистский импульс:** \[ \vec{p} = \gamma m_0 \vec{v} \] где \(m_0\) — масса покоя частицы, \(\vec{v}\) — вектор скорости, а \(\gamma\) — лоренц-фактор, определяемый как: \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] где \(v = |\vec{v}|\) — модуль скорости, а \(c\) — скорость света в вакууме. 2. **Второй закон Ньютона в релятивистской форме:** \[ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} \] где \(\vec{F}\) — сила, действующая на частицу, а \(t\) — время. Теперь подставим выражение для релятивистского импульса во второй закон Ньютона: \[ \vec{F} = \frac{d}{dt} (\gamma m_0 \vec{v}) \] Поскольку масса покоя \(m_0\) является константой, мы можем вынести её за знак производной: \[ \vec{F} = m_0 \frac{d}{dt} (\gamma \vec{v}) \] Применим правило производной произведения: \[ \vec{F} = m_0 \left( \frac{d\gamma}{dt} \vec{v} + \gamma \frac{d\vec{v}}{dt} \right) \] Мы знаем, что \(\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a}\) — ускорение. Тогда: \[ \vec{F} = m_0 \left( \frac{d\gamma}{dt} \vec{v} + \gamma \vec{a} \right) \] Теперь нам нужно найти производную \(\frac{d\gamma}{dt}\). \[ \gamma = \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-1/2} \] Возьмём производную по времени: \[ \frac{d\gamma}{dt} = -\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} \cdot \left( -\frac{1}{c^2} \right) \cdot \frac{d(v^2)}{dt} \] Мы знаем, что \(v^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\). Тогда \(\frac{d(v^2)}{dt} = \frac{d}{dt} (\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} = 2 \vec{v} \cdot \vec{a}\). Подставим это обратно: \[ \frac{d\gamma}{dt} = -\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} \cdot \left( -\frac{1}{c^2} \right) \cdot (2 \vec{v} \cdot \vec{a}) \] \[ \frac{d\gamma}{dt} = \frac{1}{c^2} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} (\vec{v} \cdot \vec{a}) \] Заметим, что \(\left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} = \gamma^3\). Следовательно: \[ \frac{d\gamma}{dt} = \frac{\gamma^3}{c^2} (\vec{v} \cdot \vec{a}) \] Теперь подставим это выражение для \(\frac{d\gamma}{dt}\) обратно в формулу для силы: \[ \vec{F} = m_0 \left( \frac{\gamma^3}{c^2} (\vec{v} \cdot \vec{a}) \vec{v} + \gamma \vec{a} \right) \] \[ \vec{F} = m_0 \gamma \left( \frac{\gamma^2}{c^2} (\vec{v} \cdot \vec{a}) \vec{v} + \vec{a} \right) \] Это и есть релятивистская формула для силы. Теперь давайте рассмотрим, как эта сила влияет на изменение массы. В СТО часто вводят понятие релятивистской массы \(m = \gamma m_0\). Однако, более корректно говорить об изменении энергии. Изменение кинетической энергии частицы равно работе, совершаемой силой: \[ dE_k = \vec{F} \cdot d\vec{r} = \vec{F} \cdot \vec{v} dt \] Подставим выражение для \(\vec{F}\): \[ dE_k = m_0 \left( \frac{\gamma^3}{c^2} (\vec{v} \cdot \vec{a}) \vec{v} + \gamma \vec{a} \right) \cdot \vec{v} dt \] \[ dE_k = m_0 \left( \frac{\gamma^3}{c^2} (\vec{v} \cdot \vec{a}) (\vec{v} \cdot \vec{v}) + \gamma (\vec{a} \cdot \vec{v}) \right) dt \] Мы знаем, что \(\vec{v} \cdot \vec{v} = v^2\). \[ dE_k = m_0 \left( \frac{\gamma^3 v^2}{c^2} (\vec{v} \cdot \vec{a}) + \gamma (\vec{v} \cdot \vec{a}) \right) dt \] Вынесем \(\gamma (\vec{v} \cdot \vec{a})\) за скобки: \[ dE_k = m_0 \gamma (\vec{v} \cdot \vec{a}) \left( \frac{\gamma^2 v^2}{c^2} + 1 \right) dt \] Вспомним, что \(\gamma^2 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}\). Тогда \(\frac{\gamma^2 v^2}{c^2} + 1 = \frac{v^2}{c^2(1 - \frac{v^2}{c^2})} + 1 = \frac{v^2}{c^2 - v^2} + 1 = \frac{v^2 + c^2 - v^2}{c^2 - v^2} = \frac{c^2}{c^2 - v^2} = \gamma^2\). Значит: \[ dE_k = m_0 \gamma (\vec{v} \cdot \vec{a}) \gamma^2 dt = m_0 \gamma^3 (\vec{v} \cdot \vec{a}) dt \] Мы также знаем, что \(\frac{d\gamma}{dt} = \frac{\gamma^3}{c^2} (\vec{v} \cdot \vec{a})\). Отсюда \(\gamma^3 (\vec{v} \cdot \vec{a}) = c^2 \frac{d\gamma}{dt}\). Подставим это в выражение для \(dE_k\): \[ dE_k = m_0 c^2 \frac{d\gamma}{dt} dt = m_0 c^2 d\gamma \] Интегрируя это выражение, получаем: \[ E_k = \int m_0 c^2 d\gamma = m_0 c^2 \gamma + C \] Если при \(v=0\), \(E_k=0\), то \(\gamma=1\), и \(C = -m_0 c^2\). Таким образом, кинетическая энергия: \[ E_k = m_0 c^2 (\gamma - 1) \] Полная энергия частицы \(E\) определяется как сумма энергии покоя \(E_0 = m_0 c^2\) и кинетической энергии \(E_k\): \[ E = E_0 + E_k = m_0 c^2 + m_0 c^2 (\gamma - 1) = m_0 c^2 \gamma \] Используя определение релятивистской массы \(m = \gamma m_0\), мы можем записать: \[ E = m c^2 \] Это знаменитая формула Эйнштейна. Теперь, чтобы ответить на вопрос об изменении массы для произвольного угла между вектором скорости и силы, мы должны понимать, что в СТО масса покоя \(m_0\) является инвариантом и не меняется. То, что меняется, это релятивистская масса \(m = \gamma m_0\), которая зависит от скорости частицы. Изменение релятивистской массы \(m\) происходит за счёт изменения скорости \(v\), а значит, и лоренц-фактора \(\gamma\). \[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] Чтобы найти изменение массы, нам нужно найти производную \(m\) по времени: \[ \frac{dm}{dt} = \frac{d}{dt} (\gamma m_0) = m_0 \frac{d\gamma}{dt} \] Мы уже вывели \(\frac{d\gamma}{dt}\): \[ \frac{d\gamma}{dt} = \frac{\gamma^3}{c^2} (\vec{v} \cdot \vec{a}) \] Подставим это: \[ \frac{dm}{dt} = m_0 \frac{\gamma^3}{c^2} (\vec{v} \cdot \vec{a}) \] Мы знаем, что \(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\). \[ \frac{dm}{dt} = \frac{m_0 \gamma^3}{c^2} \left( \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} \right) \] Пусть \(\theta\) — угол между вектором скорости \(\vec{v}\) и вектором ускорения \(\vec{a}\). Тогда \(\vec{v} \cdot \vec{a} = v a \cos\theta\). \[ \frac{dm}{dt} = \frac{m_0 \gamma^3}{c^2} v a \cos\theta \] Теперь давайте свяжем ускорение \(\vec{a}\) с силой \(\vec{F}\). Мы имеем: \[ \vec{F} = m_0 \gamma \left( \frac{\gamma^2}{c^2} (\vec{v} \cdot \vec{a}) \vec{v} + \vec{a} \right) \] Это уравнение показывает, что ускорение \(\vec{a}\) не всегда параллельно силе \(\vec{F}\), если \(\vec{v}\) не параллельно \(\vec{a}\). Для удобства, давайте рассмотрим два частных случая: 1. **Сила параллельна скорости (\(\vec{F} \parallel \vec{v}\)):** В этом случае \(\vec{a} \parallel \vec{v}\), и \(\theta = 0\). Тогда \(\vec{v} \cdot \vec{a} = v a\). Формула для силы упрощается: \[ \vec{F} = m_0 \gamma \left( \frac{\gamma^2}{c^2} (v a) \vec{v} + \vec{a} \right) \] Поскольку \(\vec{a}\) и \(\vec{v}\) параллельны, мы можем работать с модулями: \[ F = m_0 \gamma \left( \frac{\gamma^2 v^2}{c^2} a + a \right) = m_0 \gamma a \left( \frac{\gamma^2 v^2}{c^2} + 1 \right) \] Мы уже показали, что \(\frac{\gamma^2 v^2}{c^2} + 1 = \gamma^2\). \[ F = m_0 \gamma a \gamma^2 = m_0 \gamma^3 a \] Отсюда \(a = \frac{F}{m_0 \gamma^3}\). Теперь подставим это в формулу для \(\frac{dm}{dt}\) при \(\cos\theta = 1\): \[ \frac{dm}{dt} = \frac{m_0 \gamma^3}{c^2} v a = \frac{m_0 \gamma^3}{c^2} v \frac{F}{m_0 \gamma^3} = \frac{F v}{c^2} \] Это означает, что при параллельной силе изменение релятивистской массы пропорционально мощности, которую сила передаёт частице, делённой на \(c^2\). 2. **Сила перпендикулярна скорости (\(\vec{F} \perp \vec{v}\)):** В этом случае \(\vec{v} \cdot \vec{a} = 0\), так как сила не меняет модуль скорости, а только её направление. Тогда \(\frac{d\gamma}{dt} = 0\), и, следовательно, \(\frac{dm}{dt} = 0\). Это означает, что при силе, перпендикулярной скорости (например, магнитная сила), релятивистская масса не меняется, так как не меняется модуль скорости. **Общий случай:** Для произвольного угла между вектором скорости \(\vec{v}\) и силой \(\vec{F}\), мы можем разложить силу на две компоненты: * \(\vec{F}_{\parallel}\) — компонента силы, параллельная скорости. * \(\vec{F}_{\perp}\) — компонента силы, перпендикулярная скорости. Тогда \(\vec{F} = \vec{F}_{\parallel} + \vec{F}_{\perp}\). Изменение релятивистской массы зависит только от компоненты силы, параллельной скорости, поскольку только она изменяет модуль скорости. \[ \frac{dm}{dt} = \frac{F_{\parallel} v}{c^2} \] Где \(F_{\parallel} = F \cos\phi\), а \(\phi\) — угол между вектором силы \(\vec{F}\) и вектором скорости \(\vec{v}\). \[ \frac{dm}{dt} = \frac{F v \cos\phi}{c^2} \] Это и есть формула, описывающая скорость изменения релятивистской массы для произвольного угла \(\phi\) между вектором скорости и силы в СТО. **Вывод для школьника:** Давайте представим, что мы хотим понять, как меняется "масса" тела, когда на него действует сила, и эта сила направлена под каким-то углом к его движению. В обычной физике (Ньютоновской механике) масса тела всегда постоянна. Но в Специальной Теории Относительности (СТО) Эйнштейна, когда тело движется очень быстро (со скоростями, близкими к скорости света), его "масса" (которую мы называем релятивистской массой) может меняться. На самом деле, более правильно говорить, что меняется энергия тела, а масса покоя (масса, которую тело имеет, когда оно неподвижно) остаётся постоянной. Но для простоты мы можем использовать понятие релятивистской массы \(m\), которая связана с массой покоя \(m_0\) и скоростью \(v\) формулой: \[ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] где \(c\) — скорость света. Чем быстрее движется тело, тем больше его релятивистская масса. Теперь представим, что на тело действует сила \(\vec{F}\). Эта сила может быть направлена под любым углом \(\phi\) к направлению движения тела (вектору скорости \(\vec{v}\)). Сила может: 1. **Увеличивать или уменьшать скорость тела.** Это происходит, когда часть силы направлена вдоль или против движения. 2. **Изменять направление движения тела.** Это происходит, когда часть силы направлена перпендикулярно движению. Изменение релятивистской массы \(m\) происходит только тогда, когда меняется скорость \(v\) тела. Если скорость \(v\) не меняется, то и релятивистская масса \(m\) не меняется. Давайте разложим силу \(\vec{F}\) на две части: * **Продольная компонента силы (\(\vec{F}_{\parallel}\)):** Эта часть силы направлена вдоль движения (параллельно вектору скорости \(\vec{v}\)). Она отвечает за изменение модуля скорости тела. * **Поперечная компонента силы (\(\vec{F}_{\perp}\)):** Эта часть силы направлена перпендикулярно движению. Она отвечает за изменение направления движения, но не меняет модуль скорости. Только продольная компонента силы \(\vec{F}_{\parallel}\) может изменить скорость тела, а значит, и его релятивистскую массу. Модуль продольной компоненты силы равен \(F_{\parallel} = F \cos\phi\), где \(F\) — это модуль всей силы, а \(\phi\) — угол между силой и скоростью. Скорость изменения релятивистской массы \(\frac{dm}{dt}\) (то есть, как быстро меняется масса со временем) связана с работой, которую совершает продольная компонента силы. Мы знаем, что мощность, которую сила передаёт телу, равна \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\). В СТО изменение энергии тела связано с изменением его релятивистской массы формулой \(E = m c^2\). Тогда изменение энергии по времени \(\frac{dE}{dt} = \frac{d(mc^2)}{dt} = c^2 \frac{dm}{dt}\). Мощность, передаваемая телу, равна скорости изменения его энергии: \(P = \frac{dE}{dt}\). Значит, \(P = c^2 \frac{dm}{dt}\). Отсюда \(\frac{dm}{dt} = \frac{P}{c^2}\). Поскольку только продольная компонента силы совершает работу, которая меняет скорость (и, следовательно, массу), мы должны использовать только эту компоненту для расчёта мощности, которая влияет на массу. Мощность, которая меняет массу, равна \(P_{\text{масса}} = \vec{F}_{\parallel} \cdot \vec{v} = (F \cos\phi) v\). Таким образом, формула для изменения релятивистской массы со временем для произвольного угла \(\phi\) между вектором скорости \(\vec{v}\) и силой \(\vec{F}\) будет: \[ \frac{dm}{dt} = \frac{F v \cos\phi}{c^2} \] Где: * \(\frac{dm}{dt}\) — скорость изменения релятивистской массы. * \(F\) — модуль силы, действующей на тело. * \(v\) — модуль скорости тела. * \(\cos\phi\) — косинус угла между вектором силы и вектором скорости. * \(c\) — скорость света в вакууме (примерно \(3 \cdot 10^8\) метров в секунду). **Что это значит простыми словами:** * Если сила направлена точно по движению (\(\phi = 0\), \(\cos\phi = 1\)), то масса тела будет увеличиваться максимально быстро, так как вся сила идёт на увеличение скорости. * Если сила направлена точно против движения (\(\phi = 180^\circ\), \(\cos\phi = -1\)), то масса тела будет уменьшаться, так как сила тормозит тело. * Если сила направлена перпендикулярно движению (\(\phi = 90^\circ\), \(\cos\phi = 0\)), то масса тела не будет меняться, потому что такая сила только меняет направление движения, но не его скорость. * Во всех остальных случаях изменение массы будет зависеть от того, насколько большая часть силы направлена вдоль или против движения. Эта формула показывает, что изменение релятивистской массы напрямую связано с мощностью, которую сила передаёт телу в направлении его движения, делённой на квадрат скорости света.