Вывод теоремы Штейнера

Теорема Штейнера (теорема Гюйгенса-Штейнера) позволяет вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси, если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной. Вывод теоремы: 1. Рассмотрим твердое тело массой \( m \). Пусть ось \( z_c \) проходит через центр масс тела (точку \( C \)), а ось \( z \) параллельна ей и находится на расстоянии \( d \). 2. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с центром масс. Тогда координаты центра масс \( x_c = 0, y_c = 0 \). 3. Момент инерции тела относительно оси \( z \) определяется формулой: \[ I = \sum m_i r_i^2 = \sum m_i (x_i^2 + y_i^2) \] где \( x_i \) и \( y_i \) — координаты элементарной массы \( m_i \) в системе координат, связанной с новой осью \( z \). 4. Свяжем координаты \( x_i, y_i \) с координатами \( x'_i, y'_i \) относительно центра масс. Если смещение произошло вдоль оси \( x \) на расстояние \( d \), то: \[ x_i = x'_i + d \] \[ y_i = y'_i \] 5. Подставим эти выражения в формулу момента инерции: \[ I = \sum m_i ((x'_i + d)^2 + (y'_i)^2) \] \[ I = \sum m_i (x'_i^2 + 2x'_i d + d^2 + y'_i^2) \] 6. Сгруппируем слагаемые: \[ I = \sum m_i (x'_i^2 + y'_i^2) + 2d \sum m_i x'_i + d^2 \sum m_i \] 7. Проанализируем полученные суммы: - Первая сумма \( \sum m_i (x'_i^2 + y'_i^2) \) — это момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс \( I_c \). - Вторая сумма \( \sum m_i x'_i \) равна нулю, так как это статический момент массы относительно оси, проходящей через центр масс (по определению центра масс). - Третья сумма \( \sum m_i \) — это полная масса тела \( m \). 8. Окончательная формула теоремы Штейнера: \[ I = I_c + md^2 \] Формулировка: Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.