Решение задачи ZA=5+j5, ZB=3-j4, ZC=10-j8 с объяснениями

Хорошо, давайте разберем эту задачу по шагам, как для новичка.

Задание

В трехфазную электрическую цепь с симметричным линейным напряжением \(U_{\text{включен}}\) включен приемник, соединенный по схеме «звезда» или «треугольник», сопротивления и схема соединения фаз которого приведены в табл. 3. Требуется:

• изобразить схему электрической цепи;
• рассчитать фазные и линейные токи, ток в нейтральном проводе (для цепи Y-0) для трех заданных режимов работы:
  1. нормальный режим работы при отсутствии в цепи обрывов и коротких замыканий (для нормального режима работы рассчитать также активную, реактивную, полную мощности источников и приемника, коэффициент мощности приемника, составить баланс мощности);
  2. обрыв заданной фазы нагрузки;
  3. обрыв заданного линейного провода (при соединении нагрузки в \(\Delta\)) или короткое замыкание заданной фазы (при соединении нагрузки в Y). В случае четырехпроводной цепи режим К.З. рассчитывается при одновременном обрыве нулевого провода;
• построить для всех рассчитанных режимов работы топографические диаграммы напряжений и векторные диаграммы токов.

Вариант 21

Из таблицы 3 для варианта 21 имеем:

• Схема соединения приемника: Y-0 (звезда с нейтральным проводом)
• Линейное напряжение \(U_{\text{л}}\) = 220 В
• Сопротивления фаз:
  • \(Z_A = 5 + j5\) Ом
  • \(Z_B = 3 - j4\) Ом
  • \(Z_C = 6 + j8\) Ом

Пояснение про нейтраль и оси координат

Откуда появляется нейтраль в этой задаче?

В трехфазной системе электроснабжения есть два основных способа соединения нагрузки: "звезда" (Y) и "треугольник" (\(\Delta\)). Когда нагрузка соединена "звездой", это означает, что один конец каждой из трех фазных обмоток (или сопротивлений) соединен в одной общей точке. Эта общая точка называется **нейтральной точкой** или **нейтралью**. Если от этой нейтральной точки проложен отдельный провод обратно к источнику питания (генератору или трансформатору), то этот провод называется **нейтральным проводом** (или нулевым проводом). В нашей задаче указано "Y-0". Это означает, что нагрузка соединена "звездой" и есть **нейтральный провод**. Наличие нейтрального провода очень важно, потому что он позволяет токам в фазах быть разными, если сопротивления фаз не одинаковы (как в нашем случае: \(Z_A\), \(Z_B\), \(Z_C\) разные). Если бы нейтрального провода не было (схема Y без 0), то нейтральная точка нагрузки могла бы смещаться, и фазные напряжения на нагрузке были бы другими.

Куда по осям направлять +1 и +j?

Для построения векторных диаграмм и выполнения расчетов в комплексной форме нам нужно выбрать систему координат. В электротехнике принято использовать комплексную плоскость, где:

• **Горизонтальная ось (действительная ось)** соответствует действительным числам. На ней откладываются величины, которые находятся в фазе с выбранным опорным вектором (обычно это фазное напряжение одной из фаз). Положительное направление — вправо.
• **Вертикальная ось (мнимая ось)** соответствует мнимым числам. На ней откладываются величины, сдвинутые по фазе на \(\pm 90^\circ\) относительно действительной оси. Положительное направление (соответствующее \(+j\)) — вверх.

В трехфазных цепях обычно за опорный вектор принимают фазное напряжение фазы A. То есть, мы будем считать, что фазное напряжение \(U_A\) (или \(U_{AN}\)) направлено вдоль действительной оси. Итак:

• Вектор, направленный вправо по горизонтальной оси, имеет угол \(0^\circ\) и представляется как действительное число (например, \(1\), \(5\), \(U_A\)).
• Вектор, направленный вверх по вертикальной оси, имеет угол \(+90^\circ\) и представляется как чисто мнимое число с \(+j\) (например, \(j1\), \(j5\)).
• Вектор, направленный влево по горизонтальной оси, имеет угол \(+180^\circ\) или \(-180^\circ\) и представляется как отрицательное действительное число (например, \(-1\), \(-5\)).
• Вектор, направленный вниз по вертикальной оси, имеет угол \(-90^\circ\) или \(+270^\circ\) и представляется как чисто мнимое число с \(-j\) (например, \(-j1\), \(-j5\)).

Шаг 1: Изобразить схему электрической цепи

Поскольку у нас схема "звезда с нейтральным проводом" (Y-0), схема будет выглядеть следующим образом:

(Представьте, что здесь нарисована схема: три фазных провода (A, B, C) от источника, каждый через свое сопротивление \(Z_A\), \(Z_B\), \(Z_C\) подключается к общей нейтральной точке нагрузки. От этой нейтральной точки нагрузки идет нейтральный провод (N) обратно к нейтральной точке источника.)

Шаг 2: Расчеты для нормального режима работы

2.1. Определяем фазные напряжения источника

В симметричной трехфазной системе линейные напряжения равны по модулю и сдвинуты друг относительно друга на \(120^\circ\). Фазные напряжения также равны по модулю и сдвинуты на \(120^\circ\). Для соединения "звезда" между линейным и фазным напряжением существует соотношение: \[U_{\text{л}} = \sqrt{3} \cdot U_{\text{ф}}\] Отсюда, фазное напряжение источника: \[U_{\text{ф}} = \frac{U_{\text{л}}}{\sqrt{3}}\] Подставляем данные: \[U_{\text{ф}} = \frac{220 \text{ В}}{\sqrt{3}} \approx \frac{220}{1.732} \approx 127.02 \text{ В}\] Округлим до 127 В для удобства. Теперь запишем фазные напряжения в комплексной форме, приняв \(U_A\) за опорный вектор (угол \(0^\circ\)): \[\dot{U}_A = U_{\text{ф}} \angle 0^\circ = 127 \angle 0^\circ \text{ В} = 127 + j0 \text{ В}\] \[\dot{U}_B = U_{\text{ф}} \angle -120^\circ = 127 (\cos(-120^\circ) + j \sin(-120^\circ)) = 127 (-0.5 - j0.866) \approx -63.5 - j110 \text{ В}\] \[\dot{U}_C = U_{\text{ф}} \angle +120^\circ = 127 (\cos(120^\circ) + j \sin(120^\circ)) = 127 (-0.5 + j0.866) \approx -63.5 + j110 \text{ В}\]

2.2. Записываем сопротивления фаз в комплексной форме

Нам даны сопротивления: \[Z_A = 5 + j5 \text{ Ом}\] \[Z_B = 3 - j4 \text{ Ом}\] \[Z_C = 6 + j8 \text{ Ом}\] Для удобства расчетов переведем их в полярную форму (модуль и угол): Модуль \(|Z| = \sqrt{\text{Re}(Z)^2 + \text{Im}(Z)^2}\) Угол \(\phi = \arctan\left(\frac{\text{Im}(Z)}{\text{Re}(Z)}\right)\) Для \(Z_A\): \(|Z_A| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.07 \text{ Ом}\) \(\phi_A = \arctan\left(\frac{5}{5}\right) = \arctan(1) = 45^\circ\) \[Z_A = 7.07 \angle 45^\circ \text{ Ом}\] Для \(Z_B\): \(|Z_B| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ Ом}\) \(\phi_B = \arctan\left(\frac{-4}{3}\right) \approx -53.13^\circ\) \[Z_B = 5 \angle -53.13^\circ \text{ Ом}\] Для \(Z_C\): \(|Z_C| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ Ом}\) \(\phi_C = \arctan\left(\frac{8}{6}\right) = \arctan(1.333) \approx 53.13^\circ\) \[Z_C = 10 \angle 53.13^\circ \text{ Ом}\]

2.3. Расчет фазных токов

В схеме "звезда с нейтральным проводом" фазные напряжения на нагрузке равны фазным напряжениям источника, так как нейтральный провод обеспечивает одинаковый потенциал нейтральных точек источника и нагрузки. По закону Ома для каждой фазы: \[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_A}{Z_A}\] \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_B}{Z_B}\] \[\dot{I}_C = \frac{\dot{U}_C}{Z_C}\] Рассчитываем: \[\dot{I}_A = \frac{127 \angle 0^\circ}{7.07 \angle 45^\circ} = \frac{127}{7.07} \angle (0^\circ - 45^\circ) \approx 17.96 \angle -45^\circ \text{ А}\] В прямоугольной форме: \(17.96 (\cos(-45^\circ) + j \sin(-45^\circ)) = 17.96 (0.707 - j0.707) \approx 12.7 - j12.7 \text{ А}\) \[\dot{I}_B = \frac{127 \angle -120^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = \frac{127}{5} \angle (-120^\circ - (-53.13^\circ)) = 25.4 \angle (-120^\circ + 53.13^\circ) = 25.4 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] В прямоугольной форме: \(25.4 (\cos(-66.87^\circ) + j \sin(-66.87^\circ)) = 25.4 (0.392 - j0.92) \approx 9.96 - j23.37 \text{ А}\) \[\dot{I}_C = \frac{127 \angle 120^\circ}{10 \angle 53.13^\circ} = \frac{127}{10} \angle (120^\circ - 53.13^\circ) = 12.7 \angle 66.87^\circ \text{ А}\] В прямоугольной форме: \(12.7 (\cos(66.87^\circ) + j \sin(66.87^\circ)) = 12.7 (0.392 + j0.92) \approx 4.98 + j11.68 \text{ А}\)

2.4. Расчет линейных токов

В схеме "звезда" фазные токи равны линейным токам: \[\dot{I}_{\text{лA}} = \dot{I}_A \approx 12.7 - j12.7 \text{ А}\] \[\dot{I}_{\text{лB}} = \dot{I}_B \approx 9.96 - j23.37 \text{ А}\] \[\dot{I}_{\text{лC}} = \dot{I}_C \approx 4.98 + j11.68 \text{ А}\]

2.5. Расчет тока в нейтральном проводе

Ток в нейтральном проводе равен векторной сумме фазных токов: \[\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C\] \[\dot{I}_N = (12.7 - j12.7) + (9.96 - j23.37) + (4.98 + j11.68)\] \[\dot{I}_N = (12.7 + 9.96 + 4.98) + j(-12.7 - 23.37 + 11.68)\] \[\dot{I}_N = 27.64 - j24.39 \text{ А}\] Модуль тока нейтрали: \(|I_N| = \sqrt{27.64^2 + (-24.39)^2} = \sqrt{763.98 + 594.87} = \sqrt{1358.85} \approx 36.86 \text{ А}\)

2.6. Расчет мощностей

Активная мощность (P)

\[P = P_A + P_B + P_C\] \[P_A = U_{\text{ф}} \cdot I_A \cdot \cos(\phi_A) = |\dot{U}_A| \cdot |\dot{I}_A| \cdot \cos(\text{угол}(\dot{U}_A) - \text{угол}(\dot{I}_A))\] Или, что проще, \(P = \text{Re}(\dot{U} \cdot \dot{I}^*)\) или \(P = I^2 \cdot R\). Используем \(P = I^2 \cdot R\), где \(R\) - активное сопротивление фазы. \(R_A = 5 \text{ Ом}\), \(R_B = 3 \text{ Ом}\), \(R_C = 6 \text{ Ом}\). \(|I_A| \approx 17.96 \text{ А}\) \(|I_B| \approx 25.4 \text{ А}\) \(|I_C| \approx 12.7 \text{ А}\) \[P_A = |I_A|^2 \cdot R_A = (17.96)^2 \cdot 5 \approx 322.56 \cdot 5 = 1612.8 \text{ Вт}\] \[P_B = |I_B|^2 \cdot R_B = (25.4)^2 \cdot 3 \approx 645.16 \cdot 3 = 1935.48 \text{ Вт}\] \[P_C = |I_C|^2 \cdot R_C = (12.7)^2 \cdot 6 \approx 161.29 \cdot 6 = 967.74 \text{ Вт}\] Общая активная мощность приемника: \[P_{\text{приемника}} = P_A + P_B + P_C = 1612.8 + 1935.48 + 967.74 = 4516.02 \text{ Вт}\]

Реактивная мощность (Q)

\[Q = Q_A + Q_B + Q_C\] \[Q_A = |I_A|^2 \cdot X_A = (17.96)^2 \cdot 5 \approx 322.56 \cdot 5 = 1612.8 \text{ ВАр}\] \[Q_B = |I_B|^2 \cdot X_B = (25.4)^2 \cdot (-4) \approx 645.16 \cdot (-4) = -2580.64 \text{ ВАр}\] \[Q_C = |I_C|^2 \cdot X_C = (12.7)^2 \cdot 8 \approx 161.29 \cdot 8 = 1290.32 \text{ ВАр}\] Общая реактивная мощность приемника: \[Q_{\text{приемника}} = Q_A + Q_B + Q_C = 1612.8 - 2580.64 + 1290.32 = 322.48 \text{ ВАр}\]

Полная мощность (S)

\[S = \sqrt{P^2 + Q^2}\] \[S_{\text{приемника}} = \sqrt{4516.02^2 + 322.48^2} = \sqrt{20394440 + 103993} = \sqrt{20498433} \approx 4527.5 \text{ ВА}\] Также можно рассчитать как \(S = \sum |\dot{U}_{\text{ф}} \cdot \dot{I}_{\text{ф}}^*|\) или \(S = \sum |\dot{I}_{\text{ф}}|^2 \cdot |\dot{Z}_{\text{ф}}|\). \[S_A = |I_A|^2 \cdot |Z_A| = (17.96)^2 \cdot 7.07 \approx 322.56 \cdot 7.07 = 2280.5 \text{ ВА}\] \[S_B = |I_B|^2 \cdot |Z_B| = (25.4)^2 \cdot 5 \approx 645.16 \cdot 5 = 3225.8 \text{ ВА}\] \[S_C = |I_C|^2 \cdot |Z_C| = (12.7)^2 \cdot 10 \approx 161.29 \cdot 10 = 1612.9 \text{ ВА}\] Сумма модулей полных мощностей фаз не равна модулю общей полной мощности, если фазные углы разные. Общая полная мощность в комплексной форме: \[\dot{S} = \dot{U}_A \dot{I}_A^* + \dot{U}_B \dot{I}_B^* + \dot{U}_C \dot{I}_C^*\] \[\dot{S} = (127 \angle 0^\circ)(17.96 \angle 45^\circ) + (127 \angle -120^\circ)(25.4 \angle 66.87^\circ) + (127 \angle 120^\circ)(12.7 \angle -66.87^\circ)\] \[\dot{S} = (127 \cdot 17.96 \angle 45^\circ) + (127 \cdot 25.4 \angle -53.13^\circ) + (127 \cdot 12.7 \angle 53.13^\circ)\] \[\dot{S} = (2280.92 \angle 45^\circ) + (3225.8 \angle -53.13^\circ) + (1612.9 \angle 53.13^\circ)\] Переводим в прямоугольную форму: \(2280.92 (\cos 45^\circ + j \sin 45^\circ) = 2280.92 (0.707 + j0.707) \approx 1612.8 + j1612.8\) \(3225.8 (\cos(-53.13^\circ) + j \sin(-53.13^\circ)) = 3225.8 (0.6 - j0.8) \approx 1935.48 - j2580.64\) \(1612.9 (\cos 53.13^\circ + j \sin 53.13^\circ) = 1612.9 (0.6 + j0.8) \approx 967.74 + j1290.32\) Суммируем: \(\dot{S} = (1612.8 + 1935.48 + 967.74) + j(1612.8 - 2580.64 + 1290.32)\) \(\dot{S} = 4516.02 + j322.48 \text{ ВА}\) Модуль \(\dot{S}\) равен \(\sqrt{4516.02^2 + 322.48^2} \approx 4527.5 \text{ ВА}\). Это совпадает с расчетом по \(P\) и \(Q\).

Коэффициент мощности приемника (\(\cos \phi\))

\[\cos \phi = \frac{P_{\text{приемника}}}{S_{\text{приемника}}} = \frac{4516.02}{4527.5} \approx 0.997\]

2.7. Баланс мощностей

В нормальном режиме работы, если нет потерь в проводах, мощности источника и приемника должны быть равны. Мы рассчитали мощности приемника. Мощности источника будут такими же. \[P_{\text{источника}} = P_{\text{приемника}} = 4516.02 \text{ Вт}\] \[Q_{\text{источника}} = Q_{\text{приемника}} = 322.48 \text{ ВАр}\] \[S_{\text{источника}} = S_{\text{приемника}} = 4527.5 \text{ ВА}\] Баланс мощностей соблюдается.

Шаг 3: Обрыв заданной фазы нагрузки (фаза C)

По условию, обрыв заданной фазы. В таблице 3 для варианта 21 указано "Обрыв фазы: CA". Это означает обрыв фазы C. При обрыве фазы C ток в этой фазе становится равным нулю: \(\dot{I}_C = 0\). Поскольку у нас есть нейтральный провод, фазы A и B продолжают работать независимо, как в однофазной цепи.

3.1. Расчет фазных токов

\[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_A}{Z_A} \approx 17.96 \angle -45^\circ \text{ А} \approx 12.7 - j12.7 \text{ А}\] \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_B}{Z_B} \approx 25.4 \angle -66.87^\circ \text{ А} \approx 9.96 - j23.37 \text{ А}\] \[\dot{I}_C = 0 \text{ А}\]

3.2. Расчет линейных токов

\[\dot{I}_{\text{лA}} = \dot{I}_A \approx 12.7 - j12.7 \text{ А}\] \[\dot{I}_{\text{лB}} = \dot{I}_B \approx 9.96 - j23.37 \text{ А}\] \[\dot{I}_{\text{лC}} = \dot{I}_C = 0 \text{ А}\]

3.3. Расчет тока в нейтральном проводе

\[\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = (12.7 - j12.7) + (9.96 - j23.37) + 0\] \[\dot{I}_N = 22.66 - j36.07 \text{ А}\] Модуль тока нейтрали: \(|I_N| = \sqrt{22.66^2 + (-36.07)^2} = \sqrt{513.48 + 1301.04} = \sqrt{1814.52} \approx 42.6 \text{ А}\)

Шаг 4: Короткое замыкание заданной фазы (фаза A) при одновременном обрыве нулевого провода

По условию, "К.З. фазы: A". Это означает короткое замыкание фазы A. Также сказано, что "В случае четырехпроводной цепи режим К.З. рассчитывается при одновременном обрыве нулевого провода". Это очень важный момент. Обрыв нейтрального провода означает, что нейтральная точка нагрузки больше не соединена с нейтральной точкой источника. При коротком замыкании фазы A, сопротивление \(Z_A\) становится равным нулю. При обрыве нейтрального провода, ток в нейтральном проводе \(\dot{I}_N = 0\). В этом случае нейтральная точка нагрузки (N') смещается. Напряжения на фазах нагрузки будут отличаться от фазных напряжений источника. Для расчета токов и напряжений в этом режиме используем метод двух узлов или метод контурных токов. Проще всего использовать метод двух узлов, так как у нас есть обрыв нейтрального провода. Пусть потенциал нейтральной точки источника равен нулю (\(\dot{U}_N = 0\)). Тогда потенциалы фазных проводов источника: \[\dot{U}_A = 127 \angle 0^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_B = 127 \angle -120^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_C = 127 \angle 120^\circ \text{ В}\] Пусть потенциал нейтральной точки нагрузки равен \(\dot{U}_{N'}\). Тогда фазные напряжения на нагрузке будут: \[\dot{U}_{AN'} = \dot{U}_A - \dot{U}_{N'}\] \[\dot{U}_{BN'} = \dot{U}_B - \dot{U}_{N'}\] \[\dot{U}_{CN'} = \dot{U}_C - \dot{U}_{N'}\] Токи в фазах нагрузки: \[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{AN'}}{Z_A}\] \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{BN'}}{Z_B}\] \[\dot{I}_C = \frac{\dot{U}_{CN'}}{Z_C}\] При обрыве нейтрального провода сумма токов в нейтральной точке нагрузки равна нулю: \[\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 0\] Подставляем выражения для токов: \[\frac{\dot{U}_A - \dot{U}_{N'}}{Z_A} + \frac{\dot{U}_B - \dot{U}_{N'}}{Z_B} + \frac{\dot{U}_C - \dot{U}_{N'}}{Z_C} = 0\] \[\dot{U}_A Y_A + \dot{U}_B Y_B + \dot{U}_C Y_C - \dot{U}_{N'} (Y_A + Y_B + Y_C) = 0\] Где \(Y = 1/Z\) - проводимость. \[\dot{U}_{N'} = \frac{\dot{U}_A Y_A + \dot{U}_B Y_B + \dot{U}_C Y_C}{Y_A + Y_B + Y_C}\] Теперь учтем короткое замыкание фазы A. Это означает, что \(Z_A = 0\). Если \(Z_A = 0\), то \(Y_A = 1/0 = \infty\). Это приводит к тому, что \(\dot{U}_{N'}\) будет равно \(\dot{U}_A\). Почему? Потому что при коротком замыкании фазы A, точка A нагрузки соединяется напрямую с нейтральной точкой нагрузки. То есть, потенциал точки A источника становится равным потенциалу нейтральной точки нагрузки. \[\dot{U}_{N'} = \dot{U}_A = 127 \angle 0^\circ \text{ В}\] Теперь можем найти фазные напряжения на нагрузке: \[\dot{U}_{AN'} = \dot{U}_A - \dot{U}_{N'} = \dot{U}_A - \dot{U}_A = 0 \text{ В}\] Это логично, так как фаза A закорочена. \[\dot{U}_{BN'} = \dot{U}_B - \dot{U}_{N'} = \dot{U}_B - \dot{U}_A\] \[\dot{U}_{BN'} = (127 \angle -120^\circ) - (127 \angle 0^\circ)\] \[\dot{U}_{BN'} = (-63.5 - j110) - (127 + j0) = -190.5 - j110 \text{ В}\] Модуль: \(|U_{BN'}| = \sqrt{(-190.5)^2 + (-110)^2} = \sqrt{36290.25 + 12100} = \sqrt{48390.25} \approx 219.98 \text{ В}\) Угол: \(\arctan\left(\frac{-110}{-190.5}\right) = \arctan(0.577) \approx 30^\circ\). Поскольку обе компоненты отрицательны, угол в 3-м квадранте: \(30^\circ - 180^\circ = -150^\circ\). \[\dot{U}_{BN'} \approx 220 \angle -150^\circ \text{ В}\] Обратите внимание, что это линейное напряжение \(\dot{U}_{BA}\). \[\dot{U}_{CN'} = \dot{U}_C - \dot{U}_{N'} = \dot{U}_C - \dot{U}_A\] \[\dot{U}_{CN'} = (127 \angle 120^\circ) - (127 \angle 0^\circ)\] \[\dot{U}_{CN'} = (-63.5 + j110) - (127 + j0) = -190.5 + j110 \text{ В}\] Модуль: \(|U_{CN'}| = \sqrt{(-190.5)^2 + 110^2} \approx 219.98 \text{ В}\) Угол: \(\arctan\left(\frac{110}{-190.5}\right) = \arctan(-0.577) \approx -30^\circ\). Поскольку действительная часть отрицательна, мнимая положительна, угол во 2-м квадранте: \(-30^\circ + 180^\circ = 150^\circ\). \[\dot{U}_{CN'} \approx 220 \angle 150^\circ \text{ В}\] Это линейное напряжение \(\dot{U}_{CA}\).

4.1. Расчет фазных токов

\[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{AN'}}{Z_A} = \frac{0}{0}\] Здесь возникает неопределенность. Ток \(\dot{I}_A\) не равен нулю, он будет равен сумме токов \(\dot{I}_B\) и \(\dot{I}_C\) с обратным знаком, так как \(\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 0\). \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{BN'}}{Z_B} = \frac{220 \angle -150^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = \frac{220}{5} \angle (-150^\circ - (-53.13^\circ)) = 44 \angle -96.87^\circ \text{ А}\] В прямоугольной форме: \(44 (\cos(-96.87^\circ) + j \sin(-96.87^\circ)) = 44 (-0.119 - j0.993) \approx -5.24 - j43.69 \text{ А}\) \[\dot{I}_C = \frac{\dot{U}_{CN'}}{Z_C} = \frac{220 \angle 150^\circ}{10 \angle 53.13^\circ} = \frac{220}{10} \angle (150^\circ - 53.13^\circ) = 22 \angle 96.87^\circ \text{ А}\] В прямоугольной форме: \(22 (\cos(96.87^\circ) + j \sin(96.87^\circ)) = 22 (-0.119 + j0.993) \approx -2.62 + j21.85 \text{ А}\) Теперь найдем \(\dot{I}_A\): \[\dot{I}_A = -(\dot{I}_B + \dot{I}_C) = -((-5.24 - j43.69) + (-2.62 + j21.85))\] \[\dot{I}_A = -(-7.86 - j21.84) = 7.86 + j21.84 \text{ А}\] Модуль: \(|I_A| = \sqrt{7.86^2 + 21.84^2} = \sqrt{61.78 + 477.0} = \sqrt{538.78} \approx 23.21 \text{ А}\)

4.2. Расчет линейных токов

В схеме "звезда" фазные токи равны линейным токам: \[\dot{I}_{\text{лA}} = \dot{I}_A \approx 7.86 + j21.84 \text{ А}\] \[\dot{I}_{\text{лB}} = \dot{I}_B \approx -5.24 - j43.69 \text{ А}\] \[\dot{I}_{\text{лC}} = \dot{I}_C \approx -2.62 + j21.85 \text{ А}\]

4.3. Ток в нейтральном проводе

По условию, нейтральный провод оборван, поэтому: \[\dot{I}_N = 0 \text{ А}\]

Шаг 5: Построение топографических диаграмм напряжений и векторных диаграмм токов

Для построения диаграмм нам нужны все рассчитанные векторы напряжений и токов.

5.1. Нормальный режим работы

Векторы напряжений (фазные напряжения источника):

\[\dot{U}_A = 127 \angle 0^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_B = 127 \angle -120^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_C = 127 \angle 120^\circ \text{ В}\] Эти векторы образуют симметричную звезду.

Векторы токов:

\[\dot{I}_A \approx 17.96 \angle -45^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_B \approx 25.4 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_C \approx 12.7 \angle 66.87^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_N \approx 36.86 \angle -41.4^\circ \text{ А} \quad (\text{угол} = \arctan(-24.39/27.64) \approx -41.4^\circ)\]

Построение:

1. Начертите оси координат (действительная и мнимая).
2. Отложите векторы фазных напряжений \(\dot{U}_A\), \(\dot{U}_B\), \(\dot{U}_C\) из начала координат. \(\dot{U}_A\) будет лежать на положительной действительной оси.
3. Из той же точки отложите векторы фазных токов \(\dot{I}_A\), \(\dot{I}_B\), \(\dot{I}_C\).
4. Вектор \(\dot{I}_N\) будет суммой этих трех векторов. Его можно построить, последовательно откладывая векторы токов или находя его координаты.

(Представьте здесь векторную диаграмму: три вектора напряжений, расходящиеся под 120 градусов, и три вектора токов, сдвинутые относительно своих напряжений на углы \(\phi_A\), \(\phi_B\), \(\phi_C\). Вектор \(\dot{I}_N\) будет направлен в 4-й квадрант.)

5.2. Обрыв фазы C

Векторы напряжений:

Те же фазные напряжения источника: \[\dot{U}_A = 127 \angle 0^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_B = 127 \angle -120^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_C = 127 \angle 120^\circ \text{ В}\]

Векторы токов:

\[\dot{I}_A \approx 17.96 \angle -45^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_B \approx 25.4 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_C = 0 \text{ А}\] \[\dot{I}_N \approx 42.6 \angle -57.9^\circ \text{ А} \quad (\text{угол} = \arctan(-36.07/22.66) \approx -57.9^\circ)\]

Построение:

1. Начертите оси координат.
2. Отложите векторы фазных напряжений.
3. Отложите векторы \(\dot{I}_A\) и \(\dot{I}_B\). Вектор \(\dot{I}_C\) отсутствует.
4. Вектор \(\dot{I}_N\) будет суммой \(\dot{I}_A\) и \(\dot{I}_B\).

(Представьте здесь векторную диаграмму: те же векторы напряжений, но только два вектора токов \(\dot{I}_A\) и \(\dot{I}_B\). Вектор \(\dot{I}_N\) будет направлен в 4-й квадрант, но с большим модулем и другим углом.)

5.3. Короткое замыкание фазы A при обрыве нулевого провода

Топографическая диаграмма напряжений:

Здесь важно, что нейтральная точка нагрузки N' смещена и совпадает с точкой A источника. Потенциалы точек: \[\dot{U}_N = 0 \text{ В (нейтраль источника)}\] \[\dot{U}_A = 127 \angle 0^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_B = 127 \angle -120^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_C = 127 \angle 120^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_{N'} = \dot{U}_A = 127 \angle 0^\circ \text{ В (нейтраль нагрузки)}\] Фазные напряжения на нагрузке: \[\dot{U}_{AN'} = 0 \text{ В}\] \[\dot{U}_{BN'} \approx 220 \angle -150^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_{CN'} \approx 220 \angle 150^\circ \text{ В}\]

Построение топографической диаграммы напряжений:

1. Выберите начало координат как потенциал нейтрали источника (точка N).
2. Отложите векторы \(\dot{U}_A\), \(\dot{U}_B\), \(\dot{U}_C\) из точки N.
3. Точка N' будет совпадать с концом вектора \(\dot{U}_A\).
4. Векторы фазных напряжений на нагрузке \(\dot{U}_{AN'}\), \(\dot{U}_{BN'}\), \(\dot{U}_{CN'}\) будут идти от точки N' к концам векторов \(\dot{U}_A\), \(\dot{U}_B\), \(\dot{U}_C\) соответственно.
   • \(\dot{U}_{AN'}\) будет нулевым вектором (точка N' совпадает с точкой A).
   • \(\dot{U}_{BN'}\) будет вектором от точки A до точки B.
   • \(\dot{U}_{CN'}\) будет вектором от точки A до точки C.

(Представьте здесь топографическую диаграмму: из центра (N) выходят три вектора \(\dot{U}_A\), \(\dot{U}_B\), \(\dot{U}_C\). Точка A является также точкой N'. Из точки A (N') выходят векторы \(\dot{U}_{BN'}\) (к B) и \(\dot{U}_{CN'}\) (к C). Вектор \(\dot{U}_{AN'}\) - это точка.)

Векторная диаграмма токов:

\[\dot{I}_A \approx 23.21 \angle 70.2^\circ \text{ А} \quad (\text{угол} = \arctan(21.84/7.86) \approx 70.2^\circ)\] \[\dot{I}_B \approx 44 \angle -96.87^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_C \approx 22 \angle 96.87^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_N = 0 \text{ А}\]

Построение:

1. Начертите оси координат.
2. Отложите векторы токов \(\dot{I}_A\), \(\dot{I}_B\), \(\dot{I}_C\) из начала координат.
3. Убедитесь, что векторная сумма этих трех токов равна нулю (они должны образовывать замкнутый треугольник, если откладывать их последовательно).

(Представьте здесь векторную диаграмму: три вектора токов \(\dot{I}_A\), \(\dot{I}_B\), \(\dot{I}_C\), которые в сумме дают ноль. \(\dot{I}_A\) в 1-м квадранте, \(\dot{I}_B\) в 3-м, \(\dot{I}_C\) во 2-м.) Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам разобраться с задачей и правильно переписать ее в тетрадь!