Хорошо, давайте разберем вашу задачу по варианту 22.
Вариант 22:
Схема соединения приемника: Y-0 (звезда с нейтральным проводом)
Линейное напряжение \(U_Л = 220\) В
Сопротивления фаз приемника:
\(Z_A = 5 + j5\) Ом
\(Z_B = 3 - j4\) Ом
\(Z_C = 10 - j8\) Ом
1. Пояснение про нейтраль в этой задаче
В трехфазной системе, соединенной "звездой" (Y), есть три фазных провода (A, B, C) и один нейтральный провод (0 или N).
* Фазы: Это провода, по которым подается напряжение от источника к нагрузке. Между любыми двумя фазными проводами существует линейное напряжение \(U_Л\).
* Нейтральный провод: Это провод, который соединяет общую точку (нейтраль) источника с общей точкой (нейтралью) нагрузки. Он нужен для того, чтобы обеспечить возвратный путь для токов в каждой фазе, особенно когда нагрузки в фазах несимметричны (то есть, сопротивления \(Z_A\), \(Z_B\), \(Z_C\) разные, как в нашем случае).
Когда схема соединения приемника указана как "Y-0", это означает, что приемник соединен "звездой" и имеет нейтральный провод, который соединяет нейтраль приемника с нейтралью источника.
* Откуда появляется нейтраль? Нейтраль - это общая точка соединения всех фаз. В источнике (генераторе) общие концы обмоток соединяются вместе, образуя нейтраль источника. В приемнике (нагрузке) общие концы фазных сопротивлений также соединяются вместе, образуя нейтраль приемника. Нейтральный провод соединяет эти две нейтрали.
* Зачем она нужна? Если нагрузки в фазах симметричны (то есть \(Z_A = Z_B = Z_C\)), то ток в нейтральном проводе будет равен нулю. Но если нагрузки несимметричны (как в нашем варианте), то токи в фазах будут разными, и их векторная сумма не будет равна нулю. Этот "избыточный" ток будет протекать по нейтральному проводу, обеспечивая нормальную работу каждой фазы приемника при фазных напряжениях.
2. Направление осей для новичка
Для построения векторных диаграмм и понимания комплексных чисел, мы используем комплексную плоскость.
* Горизонтальная ось (действительная ось): На ней откладываются действительные части комплексных чисел. Положительное направление - вправо. Это направление часто ассоциируется с активными составляющими (например, активным сопротивлением R, активной мощностью P).
* Вертикальная ось (мнимая ось): На ней откладываются мнимые части комплексных чисел. Положительное направление - вверх. Это направление ассоциируется с реактивными составляющими (например, индуктивным сопротивлением \(jX_L\), емкостным сопротивлением \(-jX_C\), реактивной мощностью Q).
* +1: Это вектор, направленный по положительной действительной оси (вправо), длиной 1.
* +j: Это вектор, направленный по положительной мнимой оси (вверх), длиной 1. Он повернут на 90 градусов против часовой стрелки относительно +1.
* -j: Это вектор, направленный по отрицательной мнимой оси (вниз), длиной 1. Он повернут на 90 градусов по часовой стрелке относительно +1.
Пример:
Комплексное сопротивление \(Z = R + jX\).
* R (действительная часть) откладывается по горизонтальной оси.
* X (мнимая часть) откладывается по вертикальной оси.
* Если \(X > 0\), то это индуктивное сопротивление, вектор \(jX\) направлен вверх.
* Если \(X < 0\), то это емкостное сопротивление, вектор \(jX\) направлен вниз.
3. Расчеты для варианта 22
Дано:
\(U_Л = 220\) В
\(Z_A = 5 + j5\) Ом
\(Z_B = 3 - j4\) Ом
\(Z_C = 10 - j8\) Ом
Поскольку схема Y-0, фазные напряжения на нагрузке равны фазным напряжениям источника.
Фазное напряжение \(U_Ф = \frac{U_Л}{\sqrt{3}}\).
\(U_Ф = \frac{220}{\sqrt{3}} \approx \frac{220}{1.732} \approx 127.02\) В.
Примем фазное напряжение фазы A за базовое, то есть его фаза равна 0 градусов.
Тогда фазные напряжения источника будут:
\[ \dot{U}_A = U_Ф \angle 0^\circ = 127.02 + j0 \text{ В} \]
\[ \dot{U}_B = U_Ф \angle -120^\circ = 127.02 (\cos(-120^\circ) + j\sin(-120^\circ)) = 127.02 (-0.5 - j0.866) = -63.51 - j110.02 \text{ В} \]
\[ \dot{U}_C = U_Ф \angle 120^\circ = 127.02 (\cos(120^\circ) + j\sin(120^\circ)) = 127.02 (-0.5 + j0.866) = -63.51 + j110.02 \text{ В} \]
а) Нормальный режим работы (без обрывов и коротких замыканий)
В схеме Y-0 при нормальном режиме работы фазные напряжения на нагрузке равны фазным напряжениям источника.
Токи в фазах приемника:
\[ \dot{I}_A = \frac{\dot{U}_A}{Z_A} \]
\[ \dot{I}_B = \frac{\dot{U}_B}{Z_B} \]
\[ \dot{I}_C = \frac{\dot{U}_C}{Z_C} \]
Рассчитаем модули и углы сопротивлений:
\(|Z_A| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.071\) Ом
\(\varphi_A = \arctan(\frac{5}{5}) = \arctan(1) = 45^\circ\)
\(Z_A = 7.071 \angle 45^\circ\) Ом
\(|Z_B| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) Ом
\(\varphi_B = \arctan(\frac{-4}{3}) \approx -53.13^\circ\)
\(Z_B = 5 \angle -53.13^\circ\) Ом
\(|Z_C| = \sqrt{10^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} \approx 12.806\) Ом
\(\varphi_C = \arctan(\frac{-8}{10}) = \arctan(-0.8) \approx -38.66^\circ\)
\(Z_C = 12.806 \angle -38.66^\circ\) Ом
Теперь рассчитаем фазные токи:
\[ \dot{I}_A = \frac{127.02 \angle 0^\circ}{7.071 \angle 45^\circ} = \frac{127.02}{7.071} \angle (0^\circ - 45^\circ) \approx 17.96 \angle -45^\circ \text{ А} \]
В прямоугольной форме: \(17.96 (\cos(-45^\circ) + j\sin(-45^\circ)) = 17.96 (0.707 - j0.707) \approx 12.70 - j12.70 \text{ А}\)
\[ \dot{I}_B = \frac{127.02 \angle -120^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = \frac{127.02}{5} \angle (-120^\circ - (-53.13^\circ)) = 25.40 \angle (-120^\circ + 53.13^\circ) = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А} \]
В прямоугольной форме: \(25.40 (\cos(-66.87^\circ) + j\sin(-66.87^\circ)) = 25.40 (0.393 - j0.923) \approx 9.98 - j23.44 \text{ А}\)
\[ \dot{I}_C = \frac{127.02 \angle 120^\circ}{12.806 \angle -38.66^\circ} = \frac{127.02}{12.806} \angle (120^\circ - (-38.66^\circ)) = 9.92 \angle (120^\circ + 38.66^\circ) = 9.92 \angle 158.66^\circ \text{ А} \]
В прямоугольной форме: \(9.92 (\cos(158.66^\circ) + j\sin(158.66^\circ)) = 9.92 (-0.931 + j0.364) \approx -9.24 + j3.61 \text{ А}\)
Линейные токи в схеме "звезда" равны фазным токам:
\(I_Л_A = I_A \approx 17.96\) А
\(I_Л_B = I_B \approx 25.40\) А
\(I_Л_C = I_C \approx 9.92\) А
Ток в нейтральном проводе:
\[ \dot{I}_0 = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C \]
\[ \dot{I}_0 = (12.70 - j12.70) + (9.98 - j23.44) + (-9.24 + j3.61) \]
\[ \dot{I}_0 = (12.70 + 9.98 - 9.24) + j(-12.70 - 23.44 + 3.61) \]
\[ \dot{I}_0 = 13.44 - j32.53 \text{ А} \]
Модуль тока в нейтральном проводе:
\(|I_0| = \sqrt{13.44^2 + (-32.53)^2} = \sqrt{180.63 + 1058.20} = \sqrt{1238.83} \approx 35.20\) А
Активная, реактивная и полная мощности:
Мощность каждой фазы: \( \dot{S}_Ф = \dot{U}_Ф \cdot \dot{I}_Ф^* \) (где \( \dot{I}_Ф^* \) - комплексно-сопряженный ток)
Или \( P_Ф = U_Ф I_Ф \cos \varphi_Ф \) и \( Q_Ф = U_Ф I_Ф \sin \varphi_Ф \)
Для фазы A:
\(P_A = U_A I_A \cos \varphi_A = 127.02 \cdot 17.96 \cdot \cos(45^\circ) \approx 127.02 \cdot 17.96 \cdot 0.707 \approx 1610.5\) Вт
\(Q_A = U_A I_A \sin \varphi_A = 127.02 \cdot 17.96 \cdot \sin(45^\circ) \approx 127.02 \cdot 17.96 \cdot 0.707 \approx 1610.5\) вар
\(S_A = U_A I_A = 127.02 \cdot 17.96 \approx 2281.8\) ВА
Или \(S_A = \sqrt{P_A^2 + Q_A^2} = \sqrt{1610.5^2 + 1610.5^2} \approx 2277.6\) ВА (небольшая разница из-за округлений)
Для фазы B:
\(P_B = U_B I_B \cos \varphi_B = 127.02 \cdot 25.40 \cdot \cos(-53.13^\circ) \approx 127.02 \cdot 25.40 \cdot 0.6 \approx 1935.8\) Вт
\(Q_B = U_B I_B \sin \varphi_B = 127.02 \cdot 25.40 \cdot \sin(-53.13^\circ) \approx 127.02 \cdot 25.40 \cdot (-0.8) \approx -2581.1\) вар
\(S_B = U_B I_B = 127.02 \cdot 25.40 \approx 3226.3\) ВА
Для фазы C:
\(P_C = U_C I_C \cos \varphi_C = 127.02 \cdot 9.92 \cdot \cos(-38.66^\circ) \approx 127.02 \cdot 9.92 \cdot 0.780 \approx 982.5\) Вт
\(Q_C = U_C I_C \sin \varphi_C = 127.02 \cdot 9.92 \cdot \sin(-38.66^\circ) \approx 127.02 \cdot 9.92 \cdot (-0.625) \approx -785.9\) вар
\(S_C = U_C I_C = 127.02 \cdot 9.92 \approx 1259.1\) ВА
Суммарные мощности:
Активная мощность: \(P = P_A + P_B + P_C = 1610.5 + 1935.8 + 982.5 = 4528.8\) Вт
Реактивная мощность: \(Q = Q_A + Q_B + Q_C = 1610.5 - 2581.1 - 785.9 = -1756.5\) вар
Полная мощность: \(S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{4528.8^2 + (-1756.5)^2} = \sqrt{20510000 + 3085000} = \sqrt{23595000} \approx 4857.5\) ВА
Коэффициент мощности приемника:
\( \cos \varphi = \frac{P}{S} = \frac{4528.8}{4857.5} \approx 0.932 \)
б) Обрыв заданной фазы нагрузки
В таблице для варианта 22 указан обрыв фазы A.
Это означает, что ток в фазе A равен нулю: \( \dot{I}_A = 0 \).
Остальные две фазы (B и C) остаются подключенными к источнику через нейтральный провод.
Поскольку нейтральный провод есть, фазные напряжения на оставшихся фазах B и C не изменятся и будут равны фазным напряжениям источника.
Токи в фазах:
\( \dot{I}_A = 0 \) А
\[ \dot{I}_B = \frac{\dot{U}_B}{Z_B} = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А} \]
\[ \dot{I}_C = \frac{\dot{U}_C}{Z_C} = 9.92 \angle 158.66^\circ \text{ А} \]
Линейные токи:
\(I_Л_A = 0\) А
\(I_Л_B = I_B \approx 25.40\) А
\(I_Л_C = I_C \approx 9.92\) А
Ток в нейтральном проводе:
\[ \dot{I}_0 = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 0 + (9.98 - j23.44) + (-9.24 + j3.61) \]
\[ \dot{I}_0 = (9.98 - 9.24) + j(-23.44 + 3.61) \]
\[ \dot{I}_0 = 0.74 - j19.83 \text{ А} \]
Модуль тока в нейтральном проводе:
\(|I_0| = \sqrt{0.74^2 + (-19.83)^2} = \sqrt{0.5476 + 393.2289} = \sqrt{393.7765} \approx 19.84\) А
Мощности:
Поскольку \( \dot{I}_A = 0 \), то \( P_A = 0 \), \( Q_A = 0 \), \( S_A = 0 \).
Мощности фаз B и C остаются такими же, как в нормальном режиме:
\(P_B \approx 1935.8\) Вт
\(Q_B \approx -2581.1\) вар
\(P_C \approx 982.5\) Вт
\(Q_C \approx -785.9\) вар
Суммарные мощности:
Активная мощность: \(P = P_A + P_B + P_C = 0 + 1935.8 + 982.5 = 2918.3\) Вт
Реактивная мощность: \(Q = Q_A + Q_B + Q_C = 0 - 2581.1 - 785.9 = -3367.0\) вар
Полная мощность: \(S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{2918.3^2 + (-3367.0)^2} = \sqrt{8516400 + 11336700} = \sqrt{19853100} \approx 4455.7\) ВА
Коэффициент мощности приемника:
\( \cos \varphi = \frac{P}{S} = \frac{2918.3}{4455.7} \approx 0.655 \)
в) Короткое замыкание заданной фазы (при соединении нагрузки в Y)
В таблице для варианта 22 указано короткое замыкание фазы C.
Это означает, что сопротивление фазы C становится равным нулю: \( Z_C = 0 \).
Поскольку схема Y-0, фазные напряжения на нагрузке равны фазным напряжениям источника.
Токи в фазах:
\[ \dot{I}_A = \frac{\dot{U}_A}{Z_A} = 17.96 \angle -45^\circ \text{ А} \]
\[ \dot{I}_B = \frac{\dot{U}_B}{Z_B} = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А} \]
\[ \dot{I}_C = \frac{\dot{U}_C}{Z_C} = \frac{127.02 \angle 120^\circ}{0} = \infty \text{ А} \]
В реальных условиях, конечно, ток не будет бесконечным, так как всегда есть сопротивление проводов и источника. Но в рамках данной задачи, если не указано сопротивление источника, мы считаем, что ток КЗ фазы равен бесконечности.
Если бы было дано сопротивление источника \(Z_{ис}\), то \( \dot{I}_C = \frac{\dot{U}_C}{Z_{ис} + Z_C} \).
Линейные токи:
\(I_Л_A = I_A \approx 17.96\) А
\(I_Л_B = I_B \approx 25.40\) А
\(I_Л_C = I_C = \infty\) А
Ток в нейтральном проводе:
\[ \dot{I}_0 = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = (12.70 - j12.70) + (9.98 - j23.44) + \infty \]
\[ \dot{I}_0 = \infty \text{ А} \]
Мощности:
Поскольку \( \dot{I}_C = \infty \), то и мощности \( P_C \), \( Q_C \), \( S_C \) будут бесконечными.
\(P_A \approx 1610.5\) Вт
\(Q_A \approx 1610.5\) вар
\(P_B \approx 1935.8\) Вт
\(Q_B \approx -2581.1\) вар
Суммарные мощности:
Активная мощность: \(P = P_A + P_B + P_C = 1610.5 + 1935.8 + \infty = \infty\) Вт
Реактивная мощность: \(Q = Q_A + Q_B + Q_C = 1610.5 - 2581.1 + \infty = \infty\) вар
Полная мощность: \(S = \infty\) ВА
Коэффициент мощности приемника:
В случае КЗ одной фазы, понятие коэффициента мощности для всего приемника становится менее осмысленным, так как мощность стремится к бесконечности.
4. Построение топографических диаграмм напряжений и векторных диаграмм токов
Для построения диаграмм нам нужны значения напряжений и токов в комплексной форме.
а) Нормальный режим работы
Напряжения:
\[ \dot{U}_A = 127.02 \angle 0^\circ \]
\[ \dot{U}_B = 127.02 \angle -120^\circ \]
\[ \dot{U}_C = 127.02 \angle 120^\circ \]
Токи:
\[ \dot{I}_A = 17.96 \angle -45^\circ \]
\[ \dot{I}_B = 25.40 \angle -66.87^\circ \]
\[ \dot{I}_C = 9.92 \angle 158.66^\circ \]
\[ \dot{I}_0 = 35.20 \angle (-67.5^\circ) \text{ (угол } \arctan(\frac{-32.53}{13.44}) \approx -67.5^\circ) \]
Топографическая диаграмма напряжений:
1. Нарисуйте точку O (нейтраль).
2. Из точки O отложите векторы фазных напряжений \( \dot{U}_A \), \( \dot{U}_B \), \( \dot{U}_C \) с соответствующими длинами и углами.
* \( \dot{U}_A \) - горизонтально вправо.
* \( \dot{U}_B \) - под углом -120° (120° по часовой стрелке от горизонтали).
* \( \dot{U}_C \) - под углом 120° (120° против часовой стрелки от горизонтали).
3. Соедините концы векторов фазных напряжений, чтобы получить векторы линейных напряжений (например, \( \dot{U}_{AB} = \dot{U}_A - \dot{U}_B \)). В симметричной системе они образуют равносторонний треугольник.
Векторная диаграмма токов:
1. Нарисуйте начало координат.
2. Из начала координат отложите векторы фазных токов \( \dot{I}_A \), \( \dot{I}_B \), \( \dot{I}_C \) с соответствующими длинами и углами.
* \( \dot{I}_A \) - под углом -45°.
* \( \dot{I}_B \) - под углом -66.87°.
* \( \dot{I}_C \) - под углом 158.66°.
3. Вектор тока нейтрального провода \( \dot{I}_0 \) будет векторной суммой \( \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C \). Отложите его из начала координат.
б) Обрыв фазы A
Напряжения:
Остаются такими же, как в нормальном режиме, так как нейтральный провод обеспечивает неизменность фазных напряжений на оставшихся фазах.
\[ \dot{U}_A = 127.02 \angle 0^\circ \]
\[ \dot{U}_B = 127.02 \angle -120^\circ \]
\[ \dot{U}_C = 127.02 \angle 120^\circ \]
Токи:
\[ \dot{I}_A = 0 \]
\[ \dot{I}_B = 25.40 \angle -66.87^\circ \]
\[ \dot{I}_C = 9.92 \angle 158.66^\circ \]
\[ \dot{I}_0 = 19.84 \angle (-87.8^\circ) \text{ (угол } \arctan(\frac{-19.83}{0.74}) \approx -87.8^\circ) \]
Топографическая диаграмма напряжений:
Будет такой же, как в нормальном режиме.
Векторная диаграмма токов:
1. Нарисуйте начало координат.
2. Вектор \( \dot{I}_A \) отсутствует (нулевая длина).
3. Из начала координат отложите векторы \( \dot{I}_B \) и \( \dot{I}_C \).
4. Вектор тока нейтрального провода \( \dot{I}_0 \) будет векторной суммой \( \dot{I}_B + \dot{I}_C \). Отложите его из начала координат.
в) Короткое замыкание фазы C
Напряжения:
Остаются такими же, как в нормальном режиме.
\[ \dot{U}_A = 127.02 \angle 0^\circ \]
\[ \dot{U}_B = 127.02 \angle -120^\circ \]
\[ \dot{U}_C = 127.02 \angle 120^\circ \]
Токи:
\[ \dot{I}_A = 17.96 \angle -45^\circ \]
\[ \dot{I}_B = 25.40 \angle -66.87^\circ \]
\[ \dot{I}_C = \infty \]
\[ \dot{I}_0 = \infty \]
Топографическая диаграмма напряжений:
Будет такой же, как в нормальном режиме.
Векторная диаграмма токов:
Векторы \( \dot{I}_A \) и \( \dot{I}_B \) можно нарисовать. Однако, поскольку \( \dot{I}_C \) и \( \dot{I}_0 \) стремятся к бесконечности, полноценную диаграмму токов построить невозможно. Можно лишь указать, что ток в фазе C и нейтральном проводе очень большой.
Заключение
Эта задача хорошо иллюстрирует важность нейтрального провода в трехфазных системах с несимметричной нагрузкой. Он позволяет поддерживать фазные напряжения на нагрузке близкими к номинальным даже при обрывах или коротких замыканиях в других фазах (если не учитывать сопротивление проводов и источника). Без нейтрального провода при несимметрии фазные напряжения на нагрузке сильно бы исказились.
