schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи Бернулли с параметром p=0.1
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Задача 2. Случайная величина X равна числу успехов в схеме Бернулили при трех испытаниях. Вероятностьь успеха в каждом испытании равна p. Составить ряд распределения СВ Х, найти ее функцию распределения, математическое ожидание, моду и среднеквадратичное отклонение. Построить график функции распределения. Значения р приведены в таблице в соответствии с номером варианта р =0,1 Решить кратко и чётко с цифрами и написать дано
lightbulbКраткий ответ
Представлено подробное решение задачи Бернулли для трех испытаний с вероятностью успеха 0.1, включая ряд распределения, математическое ожидание и другие параметры. Получены числовые значения вероятностей и основных характеристик случайной величины.
Подробное решение
Дано:
n = 3 (число испытаний)
p = 0,1 (вероятность успеха)
q = 1 - p = 0,9 (вероятность неудачи)
X — число успехов в 3-х испытаниях.
Решение:
1. Составим ряд распределения.
Случайная величина X может принимать значения: 0, 1, 2, 3.
Вероятности вычислим по формуле Бернулли:
\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
\[ P(X = 0) = C_3^0 \cdot 0,1^0 \cdot 0,9^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,729 = 0,729 \]
\[ P(X = 1) = C_3^1 \cdot 0,1^1 \cdot 0,9^2 = 3 \cdot 0,1 \cdot 0,81 = 0,243 \]
\[ P(X = 2) = C_3^2 \cdot 0,1^2 \cdot 0,9^1 = 3 \cdot 0,01 \cdot 0,9 = 0,027 \]
\[ P(X = 3) = C_3^3 \cdot 0,1^3 \cdot 0,9^0 = 1 \cdot 0,001 \cdot 1 = 0,001 \]
Ряд распределения:
X: 0; 1; 2; 3
P: 0,729; 0,243; 0,027; 0,001
2. Математическое ожидание (для биномиального распределения):
\[ M(X) = n \cdot p = 3 \cdot 0,1 = 0,3 \]
3. Мода (Mo):
Мода — это значение с наибольшей вероятностью.
\[ Mo = 0 \] (так как \( P(0) = 0,729 \) — максимальное значение).
4. Среднеквадратичное отклонение:
Сначала найдем дисперсию:
\[ D(X) = n \cdot p \cdot q = 3 \cdot 0,1 \cdot 0,9 = 0,27 \]
Среднеквадратичное отклонение:
\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0,27} \approx 0,52 \]
5. Функция распределения F(x):
\[ F(x) = P(X < x) \]
\[ F(x) = 0, \text{ при } x \le 0 \]
\[ F(x) = 0,729, \text{ при } 0 < x \le 1 \]
\[ F(x) = 0,729 + 0,243 = 0,972, \text{ при } 1 < x \le 2 \]
\[ F(x) = 0,972 + 0,027 = 0,999, \text{ при } 2 < x \le 3 \]
\[ F(x) = 1, \text{ при } x > 3 \]
6. График функции распределения:
График представляет собой ступенчатую линию. На оси OX отмечаются точки 0, 1, 2, 3. В этих точках происходят скачки функции вверх на величину соответствующих вероятностей. В точках разрыва (0, 1, 2, 3) значение функции соответствует верхнему уровню (левонепрерывность или правонепрерывность зависит от принятого в школе определения, обычно рисуют "выколотые" точки слева).