Решение задачи 3: Расчет разрешающей силы для серии Пашена

Ниже представлено решение задачи №3, оформленное для переписывания в тетрадь. Задача №3. Вычислить необходимую минимальную разрешающую силу спектрального прибора для разрешения двух линий серии Пашена. Дано: Серия Пашена (переходы на уровень \( n = 3 \)). Рассмотрим две ближайшие линии серии (граничные случаи для минимального разрешения): первую линию (\( m_1 = 4 \)) и вторую линию (\( m_2 = 5 \)). Найти: \( R \) — разрешающая сила. Решение: Разрешающая сила спектрального прибора определяется формулой: \[ R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} \] где \( \lambda \) — средняя длина волны двух близких линий, а \( \Delta \lambda \) — разность их длин волн. Длина волны в спектре водорода определяется формулой Ридберга: \[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \] где \( R_H \) — постоянная Ридберга, \( n = 3 \) для серии Пашена. 1. Найдем длину волны для первой линии (\( m_1 = 4 \)): \[ \frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R_H \frac{16 - 9}{144} = \frac{7}{144} R_H \] \[ \lambda_1 = \frac{144}{7 R_H} \] 2. Найдем длину волны для второй линии (\( m_2 = 5 \)): \[ \frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) = R_H \frac{25 - 9}{225} = \frac{16}{225} R_H \] \[ \lambda_2 = \frac{225}{16 R_H} \] 3. Вычислим разность длин волн \( \Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_2 \): \[ \Delta \lambda = \frac{1}{R_H} \left( \frac{144}{7} - \frac{225}{16} \right) = \frac{1}{R_H} \left( \frac{2304 - 1575}{112} \right) = \frac{729}{112 R_H} \] 4. Вычислим среднее значение \( \lambda \approx \lambda_1 \): \[ R = \frac{\lambda_1}{\Delta \lambda} = \frac{144 / (7 R_H)}{729 / (112 R_H)} = \frac{144}{7} \cdot \frac{112}{729} = \frac{144 \cdot 16}{729} = \frac{2304}{729} \approx 3,16 \] Примечание: Обычно под разрешением линий серии подразумевают разрешение наиболее близких линий у границы серии (при больших \( m \)). Если рассматривать разрешение линий с \( m \) и \( m+1 \) при \( m \to \infty \), требуемая разрешающая сила будет значительно выше. Однако для первых двух линий серии Пашена расчет приведен выше. Если же требуется разрешить компоненты тонкой структуры одной линии, значение \( R \) будет порядка \( 10^4 - 10^5 \). Для школьной задачи достаточен расчет по соседним линиям. Ответ: \( R \approx 3,16 \) (для первых двух линий серии).