Решение задачи по равномерному распределению: Вариант 1 (a=2, b=3)

Дано: Случайная величина \( X \) распределена равномерно на отрезке \( [a, b] \). \( a = 2 \) \( b = 3 \) \( c = 2 \) \( d = 5 \) Найти: \( f(x) \), \( M(X) \), \( D(X) \), \( P(c < X < d) \). Решение: 1. Плотность распределения \( f(x) \) для равномерного закона задается формулой: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \le a \\ \frac{1}{b-a}, & a < x \le b \\ 0, & x > b \end{cases} \] Подставляем значения \( a = 2 \) и \( b = 3 \): \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \le 2 \\ \frac{1}{3-2} = 1, & 2 < x \le 3 \\ 0, & x > 3 \end{cases} \] 2. Математическое ожидание \( M(X) \): \[ M(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{2+3}{2} = 2,5 \] 3. Дисперсия \( D(X) \): \[ D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(3-2)^2}{12} = \frac{1}{12} \approx 0,083 \] 4. Вероятность попадания в интервал \( (c, d) \). Так как \( c = 2 \) и \( d = 5 \), а плотность отлична от нуля только на отрезке \( [2, 3] \), то: \[ P(2 < X < 5) = \int_{2}^{5} f(x) dx = \int_{2}^{3} 1 dx + \int_{3}^{5} 0 dx = [x]_2^3 = 3 - 2 = 1 \] (Так как весь интервал распределения \( [2, 3] \) полностью входит в заданный диапазон \( [2, 5] \), вероятность равна 1). 5. График плотности распределения \( f(x) \): Это горизонтальный отрезок от \( x = 2 \) до \( x = 3 \) на высоте \( y = 1 \). На остальных участках график совпадает с осью \( Ox \). В точках \( x = 2 \) и \( x = 3 \) обычно рисуют выколотые точки или пунктирные линии к оси. Ответ: \( f(x) = 1 \) при \( x \in (2, 3] \), \( M(X) = 2,5 \), \( D(X) = 1/12 \), \( P(2 < X < 5) = 1 \).