Решение задачи про моторную лодку и скорость течения

Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Задача 8. Дано: Расстояние от А до В: \(S = 15\) км Время стоянки в пункте В: \(t_{ст} = 2\) часа Скорость течения реки: \(v_{теч} = 1\) км/ч Время отправления из А: 9:00 Время возвращения в А: 19:00 Найти: Собственная скорость лодки: \(v_{соб}\) Решение: 1. Определим общее время, которое лодка находилась в пути. Лодка вышла в 9:00 и вернулась в 19:00. Общее время, прошедшее с момента выхода до момента возвращения: \(t_{общ} = 19:00 - 9:00 = 10\) часов. 2. Из общего времени вычтем время стоянки, чтобы найти чистое время движения лодки. \(t_{движ} = t_{общ} - t_{ст} = 10 - 2 = 8\) часов. 3. Пусть собственная скорость лодки будет \(v_{соб}\) км/ч. Тогда скорость лодки по течению: \(v_{по\;теч} = v_{соб} + v_{теч} = v_{соб} + 1\) км/ч. Скорость лодки против течения: \(v_{пр\;теч} = v_{соб} - v_{теч} = v_{соб} - 1\) км/ч. 4. Время, затраченное на путь из А в В (по течению): \(t_{АВ} = \frac{S}{v_{по\;теч}} = \frac{15}{v_{соб} + 1}\) часа. 5. Время, затраченное на путь из В в А (против течения): \(t_{ВА} = \frac{S}{v_{пр\;теч}} = \frac{15}{v_{соб} - 1}\) часа. 6. Сумма времени движения по течению и против течения равна чистому времени движения лодки. \(t_{АВ} + t_{ВА} = t_{движ}\) \[\frac{15}{v_{соб} + 1} + \frac{15}{v_{соб} - 1} = 8\] 7. Решим это уравнение относительно \(v_{соб}\). Приведем дроби к общему знаменателю: \((v_{соб} + 1)(v_{соб} - 1) = v_{соб}^2 - 1\). \[\frac{15(v_{соб} - 1) + 15(v_{соб} + 1)}{(v_{соб} + 1)(v_{соб} - 1)} = 8\] \[\frac{15v_{соб} - 15 + 15v_{соб} + 15}{v_{соб}^2 - 1} = 8\] \[\frac{30v_{соб}}{v_{соб}^2 - 1} = 8\] Умножим обе части на \((v_{соб}^2 - 1)\): \(30v_{соб} = 8(v_{соб}^2 - 1)\) \(30v_{соб} = 8v_{соб}^2 - 8\) Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(8v_{соб}^2 - 30v_{соб} - 8 = 0\) Разделим все члены на 2 для упрощения: \(4v_{соб}^2 - 15v_{соб} - 4 = 0\) 8. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. \(a = 4\), \(b = -15\), \(c = -4\). \[D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4)\] \[D = 225 + 64 = 289\] \[\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17\] 9. Найдем корни уравнения: \[v_{соб_1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4\] \[v_{соб_2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}\] 10. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(v_{соб} = 4\) км/ч. Также, собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, что выполняется: \(4 > 1\). Ответ: Собственная скорость лодки 4 км/ч. --- Задача 12. Дано: Расстояние между пристанями А и В: \(S = 80\) км Скорость течения реки: \(v_{теч} = 2\) км/ч Плот отправился из А в В. Через 2 часа после плота отправилась яхта. Яхта прибыла в В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел: \(S_{плот} = 22\) км. Найти: Скорость яхты в неподвижной воде: \(v_{яхта}\) Решение: 1. Определим скорость плота. Плот движется со скоростью течения реки. \(v_{плот} = v_{теч} = 2\) км/ч. 2. Определим время, которое плот был в пути. \(t_{плот} = \frac{S_{плот}}{v_{плот}} = \frac{22}{2} = 11\) часов. 3. Это время \(t_{плот}\) является общим временем, которое прошло с момента отправления плота до момента возвращения яхты в А. Яхта отправилась через 2 часа после плота. Значит, яхта была в пути: \(t_{яхта} = t_{плот} - 2 = 11 - 2 = 9\) часов. 4. Пусть скорость яхты в неподвижной воде будет \(v_{яхта}\) км/ч. Скорость яхты по течению (из А в В): \(v_{по\;теч} = v_{яхта} + v_{теч} = v_{яхта} + 2\) км/ч. Скорость яхты против течения (из В в А): \(v_{пр\;теч} = v_{яхта} - v_{теч} = v_{яхта} - 2\) км/ч. 5. Время, затраченное яхтой на путь из А в В: \(t_{АВ} = \frac{S}{v_{по\;теч}} = \frac{80}{v_{яхта} + 2}\) часа. 6. Время, затраченное яхтой на путь из В в А: \(t_{ВА} = \frac{S}{v_{пр\;теч}} = \frac{80}{v_{яхта} - 2}\) часа. 7. Сумма времени движения яхты по течению и против течения равна общему времени движения яхты. \(t_{АВ} + t_{ВА} = t_{яхта}\) \[\frac{80}{v_{яхта} + 2} + \frac{80}{v_{яхта} - 2} = 9\] 8. Решим это уравнение относительно \(v_{яхта}\). Приведем дроби к общему знаменателю: \((v_{яхта} + 2)(v_{яхта} - 2) = v_{яхта}^2 - 4\). \[\frac{80(v_{яхта} - 2) + 80(v_{яхта} + 2)}{(v_{яхта} + 2)(v_{яхта} - 2)} = 9\] \[\frac{80v_{яхта} - 160 + 80v_{яхта} + 160}{v_{яхта}^2 - 4} = 9\] \[\frac{160v_{яхта}}{v_{яхта}^2 - 4} = 9\] Умножим обе части на \((v_{яхта}^2 - 4)\): \(160v_{яхта} = 9(v_{яхта}^2 - 4)\) \(160v_{яхта} = 9v_{яхта}^2 - 36\) Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(9v_{яхта}^2 - 160v_{яхта} - 36 = 0\) 9. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. \(a = 9\), \(b = -160\), \(c = -36\). \[D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36)\] \[D = 25600 + 1296 = 26896\] \[\sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164\] 10. Найдем корни уравнения: \[v_{яхта_1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18\] \[v_{яхта_2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{160 - 164}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}\] 11. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(v_{яхта} = 18\) км/ч. Также, собственная скорость яхты должна быть больше скорости течения, что выполняется: \(18 > 2\). Ответ: Скорость яхты в неподвижной воде 18 км/ч.