Решение задачи №15: Подбор диаметра вала при кручении

Задача №15. Подбор диаметра вала при кручении. Дано: \(M = 10 \text{ кН} \cdot \text{м} = 10^4 \text{ Н} \cdot \text{м}\) \(G = 10^5 \text{ МПа} = 10^{11} \text{ Па}\) \(\tau_{adm} = 50 \text{ МПа} = 50 \cdot 10^6 \text{ Па}\) \(\theta_{adm} = 0,02 \text{ рад/м}\) \(a = 0,5 \text{ м}\) Решение: 1. Определение крутящих моментов на участках вала. Используем метод сечений, двигаясь от свободного конца вала к заделке. На первом участке (от свободного конца до момента \(2M\)): \[T_1 = M = 10 \text{ кН} \cdot \text{м}\] На втором участке (от момента \(2M\) до заделки): \[T_2 = M - 2M = -M = -10 \text{ кН} \cdot \text{м}\] Максимальный крутящий момент по модулю на всем валу: \[T_{max} = |T_1| = |T_2| = 10 \text{ кН} \cdot \text{м} = 10^4 \text{ Н} \cdot \text{м}\] 2. Расчет диаметра из условия прочности. Условие прочности по касательным напряжениям: \[\tau_{max} = \frac{T_{max}}{W_p} \le \tau_{adm}\] Где \(W_p\) — полярный момент сопротивления для круглого сечения: \[W_p = \frac{\pi d^3}{16} \approx 0,2 d^3\] Выразим диаметр \(d_1\): \[d_1 \ge \sqrt[3]{\frac{T_{max}}{0,2 \cdot \tau_{adm}}}\] Подставим значения: \[d_1 \ge \sqrt[3]{\frac{10^4}{0,2 \cdot 50 \cdot 10^6}} = \sqrt[3]{0,001} = 0,1 \text{ м} = 100 \text{ мм}\] 3. Расчет диаметра из условия жесткости. Условие жесткости по относительному углу закручивания: \[\theta_{max} = \frac{T_{max}}{G \cdot I_p} \le \theta_{adm}\] Где \(I_p\) — полярный момент инерции: \[I_p = \frac{\pi d^4}{32} \approx 0,1 d^4\] Выразим диаметр \(d_2\): \[d_2 \ge \sqrt[4]{\frac{T_{max}}{0,1 \cdot G \cdot \theta_{adm}}}\] Подставим значения: \[d_2 \ge \sqrt[4]{\frac{10^4}{0,1 \cdot 10^{11} \cdot 0,02}} = \sqrt[4]{\frac{10^4}{2 \cdot 10^8}} = \sqrt[4]{0,00005} \approx 0,084 \text{ м} = 84 \text{ мм}\] 4. Выбор окончательного диаметра. Из двух полученных значений выбираем большее, чтобы удовлетворить обоим условиям: \[d = \max(d_1, d_2) = 100 \text{ мм}\] Ответ: диаметр вала \(d = 100 \text{ мм}\).