Решение задачи №5 по сопромату: Напряжение в стержнях

Задача №5 Определить напряжение в стержнях. Дано: \( a = 1 \, \text{м} \) \( l = 1,6 \, \text{м} \) \( A = 2 \, \text{см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \) \( \Delta t = 20^{\circ}\text{C} \) \( \alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} \, \text{град}^{-1} \) \( E = 2 \cdot 10^5 \, \text{МПа} = 2 \cdot 10^{11} \, \text{Па} \) Решение: 1. Анализ системы. Система состоит из абсолютно жесткой балки, подвешенной на трех вертикальных стержнях. При нагревании правого стержня на \( \Delta t \) он стремится удлиниться, что вызывает перераспределение усилий в системе. Из-за симметрии расположения стержней и жесткости балки, балка будет совершать плоскопараллельное перемещение или поворот. Обозначим усилия в стержнях как \( N_1 \) (левый), \( N_2 \) (средний) и \( N_3 \) (правый). 2. Уравнения равновесия. Сумма моментов относительно точки крепления левого стержня: \[ \sum M_1 = 0 \Rightarrow N_2 \cdot a + N_3 \cdot 2a = 0 \Rightarrow N_2 + 2N_3 = 0 \] Сумма сил на вертикальную ось: \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow N_1 + N_2 + N_3 = 0 \] Из этих уравнений следует: \[ N_2 = -2N_3 \] \[ N_1 = -N_2 - N_3 = 2N_3 - N_3 = N_3 \] 3. Уравнение совместности деформаций. Так как балка жесткая, перемещения концов стержней \( \Delta l_i \) лежат на одной прямой. \[ \Delta l_2 = \frac{\Delta l_1 + \Delta l_3}{2} \] Выразим удлинения через усилия и температурное расширение: \[ \Delta l_1 = \frac{N_1 \cdot l}{E \cdot A} \] \[ \Delta l_2 = \frac{N_2 \cdot l}{E \cdot (2A)} \] \[ \Delta l_3 = \frac{N_3 \cdot l}{E \cdot A} + \alpha \cdot \Delta t \cdot l \] 4. Подставляем выражения в уравнение деформаций: \[ \frac{N_2 \cdot l}{2EA} = \frac{1}{2} \left( \frac{N_1 \cdot l}{EA} + \frac{N_3 \cdot l}{EA} + \alpha \cdot \Delta t \cdot l \right) \] Сокращаем на \( l \) и умножаем на \( 2EA \): \[ N_2 = N_1 + N_3 + \alpha \cdot \Delta t \cdot E \cdot A \] Подставляем \( N_1 = N_3 \) и \( N_2 = -2N_3 \): \[ -2N_3 = N_3 + N_3 + \alpha \cdot \Delta t \cdot E \cdot A \] \[ -4N_3 = \alpha \cdot \Delta t \cdot E \cdot A \] \[ N_3 = -\frac{\alpha \cdot \Delta t \cdot E \cdot A}{4} \] 5. Вычисляем значения усилий: \[ N_3 = -\frac{1,2 \cdot 10^{-5} \cdot 20 \cdot 2 \cdot 10^{11} \cdot 2 \cdot 10^{-4}}{4} = -\frac{9600}{4} = -2400 \, \text{Н} \] Тогда: \[ N_1 = N_3 = -2400 \, \text{Н} \] \[ N_2 = -2N_3 = 4800 \, \text{Н} \] 6. Определяем напряжения \( \sigma = \frac{N}{A_{fact}} \): Для 1-го стержня: \[ \sigma_1 = \frac{N_1}{A} = \frac{-2400}{2 \cdot 10^{-4}} = -12 \cdot 10^6 \, \text{Па} = -12 \, \text{МПа} \] Для 2-го стержня (площадь \( 2A \)): \[ \sigma_2 = \frac{N_2}{2A} = \frac{4800}{4 \cdot 10^{-4}} = 12 \cdot 10^6 \, \text{Па} = 12 \, \text{МПа} \] Для 3-го стержня: \[ \sigma_3 = \frac{N_3}{A} = \frac{-2400}{2 \cdot 10^{-4}} = -12 \, \text{МПа} \] Ответ: \( \sigma_1 = -12 \, \text{МПа} \), \( \sigma_2 = 12 \, \text{МПа} \), \( \sigma_3 = -12 \, \text{МПа} \).