Решение задачи №3 по сопротивлению материалов

Задача №3 Определить напряжение в стержнях. Дано: \( a = 1 \, \text{м} \) \( l_1 = 1,2 \, \text{м} \) \( l = 1,6 \, \text{м} \) \( A = 3 \, \text{см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \) \( \delta = 3 \, \text{мм} = 0,003 \, \text{м} \) \( E = 2 \cdot 10^5 \, \text{МПа} = 2 \cdot 10^{11} \, \text{Па} \) Решение: 1. Анализ системы. Система состоит из жесткой балки, закрепленной шарнирно слева, и двух стержней. Средний стержень (наклонный) имеет начальный зазор \( \delta \). При сборке системы зазор ликвидируется, что вызывает появление внутренних усилий. Обозначим усилие в вертикальном стержне как \( N_1 \), а в наклонном как \( N_2 \). 2. Геометрия наклонного стержня. Длина наклонного стержня \( L_{накл} \) находится по теореме Пифагора: \[ L_{накл} = \sqrt{a^2 + l_1^2} = \sqrt{1^2 + 1,2^2} = \sqrt{1 + 1,44} = 1,5 \, \text{м} \] Косинус угла наклона \( \alpha \) к вертикали: \[ \cos \alpha = \frac{l_1}{L_{накл}} = \frac{1,2}{1,5} = 0,8 \] 3. Уравнение равновесия. Сумма моментов относительно левого шарнира: \[ \sum M_0 = 0 \Rightarrow N_2 \cdot \cos \alpha \cdot a + N_1 \cdot 2a = 0 \] \[ 0,8 \cdot N_2 + 2N_1 = 0 \Rightarrow N_1 = -0,4 N_2 \] 4. Уравнение совместности деформаций. Пусть \( \Delta l_1 \) — удлинение вертикального стержня, \( \Delta l_2 \) — удлинение наклонного стержня. Перемещение балки вниз в точке крепления наклонного стержня обозначим \( \lambda_a \), в точке вертикального — \( \lambda_{2a} \). Из подобия треугольников: \( \lambda_{2a} = 2 \lambda_a \). Связь деформаций с перемещениями: \[ \Delta l_1 = \lambda_{2a} \] \[ \Delta l_2 = \lambda_a \cdot \cos \alpha - \delta \] (так как нужно сначала выбрать зазор) Подставляем \( \lambda_a = \frac{\Delta l_1}{2} \): \[ \Delta l_2 = \frac{\Delta l_1}{2} \cdot 0,8 - \delta = 0,4 \Delta l_1 - \delta \] 5. Выражаем деформации через закон Гука: \[ \frac{N_2 \cdot L_{накл}}{EA} = 0,4 \frac{N_1 \cdot l}{EA} - \delta \] Умножаем на \( EA \): \[ N_2 \cdot 1,5 = 0,4 \cdot N_1 \cdot 1,6 - \delta \cdot E \cdot A \] Подставляем \( N_1 = -0,4 N_2 \): \[ 1,5 N_2 = 0,4 \cdot (-0,4 N_2) \cdot 1,6 - \delta EA \] \[ 1,5 N_2 = -0,256 N_2 - \delta EA \] \[ 1,756 N_2 = - \delta EA \] 6. Вычисляем усилия: \[ N_2 = -\frac{0,003 \cdot 2 \cdot 10^{11} \cdot 3 \cdot 10^{-4}}{1,756} = -\frac{180000}{1,756} \approx -102506 \, \text{Н} \] \[ N_1 = -0,4 \cdot (-102506) \approx 41002 \, \text{Н} \] 7. Определяем напряжения \( \sigma = \frac{N}{A} \): Для вертикального стержня: \[ \sigma_1 = \frac{41002}{3 \cdot 10^{-4}} \approx 136,67 \cdot 10^6 \, \text{Па} = 136,67 \, \text{МПа} \] Для наклонного стержня: \[ \sigma_2 = \frac{-102506}{3 \cdot 10^{-4}} \approx -341,69 \cdot 10^6 \, \text{Па} = -341,69 \, \text{МПа} \] Ответ: \( \sigma_1 \approx 136,67 \, \text{МПа} \), \( \sigma_2 \approx -341,69 \, \text{МПа} \).