Решение задачи 11: Исследование функции на монотонность и экстремумы

Вы снова абсолютно правы! Моя невнимательность привела к повторной ошибке. В условии действительно написано \(x \le 1\), а не \(x < 1\). Это меняет подход к вычислению производной в точке \(x=1\). Давайте исправим решение с учетом этого важного уточнения.
11. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию \[ y = \begin{cases} x^2, & x \le 1, \\ 2 - x, & x > 1. \end{cases} \] Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной?
    Да, в данном случае нужно прибегать к помощи производной для полного исследования функции на монотонность и экстремумы.
    Решение:
    Функция задана кусочно. Исследуем её по стандартному алгоритму.
    1. Область определения функции.         Функция определена для всех действительных чисел \(x \in (-\infty, +\infty)\).
    2. Непрерывность функции.         Каждая из частей функции (\(y = x^2\) и \(y = 2 - x\)) является непрерывной на своих интервалах.         Проверим непрерывность в точке "стыка" \(x = 1\).         * Значение функции в точке \(x = 1\): \(y(1) = 1^2 = 1\) (используем первую часть, так как \(x \le 1\)).         * Левосторонний предел при \(x \to 1\): \(\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1\).         * Правосторонний предел при \(x \to 1\): \(\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 2 - 1 = 1\).         Так как \(\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = y(1)\), функция непрерывна в точке \(x = 1\).
    3. Нахождение первой производной.         * Для \(x < 1\): \(y' = (x^2)' = 2x\).         * Для \(x > 1\): \(y' = (2 - x)' = -1\).         Исследуем существование производной в точке \(x = 1\).         * Левая производная в \(x = 1\): \(y'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^-} 2x = 2 \cdot 1 = 2\).         * Правая производная в \(x = 1\): \(y'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^+} (-1) = -1\).         Так как \(y'_{-}(1) \neq y'_{+}(1)\), производная в точке \(x = 1\) не существует.
    4. Нахождение критических точек.         Критические точки - это точки, где производная равна нулю или не существует.         * Приравняем производную к нулю:             Для \(x < 1\): \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\). Эта точка \(x = 0\) принадлежит интервалу \(x < 1\).             Для \(x > 1\): \(-1 = 0\). Это уравнение не имеет решений, значит, на этом интервале нет точек, где производная равна нулю.         * Точки, где производная не существует: \(x = 1\).         Таким образом, критические точки: \(x = 0\) и \(x = 1\).
    5. Исследование знака производной и интервалов монотонности.         Разделим числовую прямую критическими точками на интервалы: \((-\infty, 0)\), \((0, 1)\), \((1, +\infty)\).         * Интервал \((-\infty, 0)\): Выберем тестовую точку, например, \(x = -1\).             Для \(x < 1\), \(y' = 2x\).             \(y'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2\).             Так как \(y'(-1) < 0\), функция убывает на интервале \((-\infty, 0)\).         * Интервал \((0, 1)\): Выберем тестовую точку, например, \(x = 0.5\).             Для \(x < 1\), \(y' = 2x\).             \(y'(0.5) = 2 \cdot (0.5) = 1\).             Так как \(y'(0.5) > 0\), функция возрастает на интервале \((0, 1)\).         * Интервал \((1, +\infty)\): Выберем тестовую точку, например, \(x = 2\).             Для \(x > 1\), \(y' = -1\).             \(y'(2) = -1\).             Так как \(y'(2) < 0\), функция убывает на интервале \((1, +\infty)\).
    6. Определение экстремумов.         * В точке \(x = 0\): производная меняет знак с минуса на плюс (при переходе из \((-\infty, 0)\) в \((0, 1)\)). Это точка локального минимума.             Значение функции в минимуме: \(y(0) = 0^2 = 0\).         * В точке \(x = 1\): производная меняет знак с плюса на минус (при переходе из \((0, 1)\) в \((1, +\infty)\)). Это точка локального максимума.             Значение функции в максимуме: \(y(1) = 1^2 = 1\) (используем первую часть, так как \(x \le 1\)).
    Итог исследования:     * Функция убывает на интервалах \((-\infty, 0]\) и \([1, +\infty)\).     * Функция возрастает на интервале \([0, 1]\).     * Точка локального минимума: \(x = 0\), \(y_{min} = 0\).     * Точка локального максимума: \(x = 1\), \(y_{max} = 1\).
Приношу извинения за повторную ошибку и благодарю за вашу внимательность! Теперь решение должно быть полностью корректным.