Решение задачи: Найти длину высоты CB и её уравнение

Для выполнения этой части задания нам нужно найти уравнение высоты, опущенной из вершины \(C\) на сторону \(AB\), и вычислить её длину. Дано: \(A(-8; -4)\) \(B(4; 5)\) \(C(2; -9)\) Уравнение прямой \(AB\): \(3x - 4y + 8 = 0\) 1) Нахождение длины высоты \(h_c\) (расстояние от точки \(C\) до прямой \(AB\)). Используем формулу расстояния от точки \((x_0; y_0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\): \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] Подставляем координаты точки \(C(2; -9)\) и коэффициенты прямой \(AB\) (\(A=3, B=-4, C=8\)): \[h_c = \frac{|3 \cdot 2 + (-4) \cdot (-9) + 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\] \[h_c = \frac{|6 + 36 + 8|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|50|}{\sqrt{25}} = \frac{50}{5} = 10\] Длина высоты \(h_c = 10\). 2) Уравнение прямой, содержащей высоту \(CH\) (перпендикулярно \(AB\)). Так как высота перпендикулярна прямой \(3x - 4y + 8 = 0\), её уравнение имеет вид \(4x + 3y + C = 0\) (меняем коэффициенты местами и один знак). Подставим координаты точки \(C(2; -9)\), чтобы найти \(C\): \[4 \cdot 2 + 3 \cdot (-9) + C = 0\] \[8 - 27 + C = 0\] \[-19 + C = 0 \Rightarrow C = 19\] Уравнение высоты \(CH\): \[4x + 3y + 19 = 0\] Ответ: Длина высоты равна \(10\), уравнение высоты: \(4x + 3y + 19 = 0\).