Решение: Найти высоту CD и ее длину

Для нахождения высоты \(CD\), опущенной из вершины \(C\) на сторону \(AB\), и её длины, воспользуемся координатами точек \(A(-8; -4)\), \(B(4; 5)\), \(C(2; -9)\) и ранее найденным уравнением прямой \(AB\). 1) Нахождение длины высоты \(CD\). Длина высоты — это расстояние от точки \(C(2; -9)\) до прямой \(AB\), уравнение которой \(3x - 4y + 8 = 0\). Используем формулу: \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] Подставляем значения: \[CD = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot (-9) + 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\] \[CD = \frac{|6 + 36 + 8|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{50}{\sqrt{25}} = \frac{50}{5} = 10\] Длина высоты \(CD = 10\). 2) Уравнение прямой \(CD\). Высота \(CD\) перпендикулярна прямой \(AB\). Если прямая \(AB\) задана уравнением \(3x - 4y + 8 = 0\), то перпендикулярная ей прямая имеет вид: \[4x + 3y + C = 0\] Подставим координаты точки \(C(2; -9)\) в это уравнение, чтобы найти коэффициент \(C\): \[4 \cdot 2 + 3 \cdot (-9) + C = 0\] \[8 - 27 + C = 0\] \[-19 + C = 0 \Rightarrow C = 19\] Уравнение прямой \(CD\): \[4x + 3y + 19 = 0\] Ответ: Длина высоты \(CD = 10\), уравнение высоты \(CD\): \(4x + 3y + 19 = 0\).