Решение задачи 6а вариант 10: Случайный вектор и ковариация

Задание 6а. Вариант 10. Условие: Бросаются два игральных кубика. \(X\) — минимальное из появившихся чисел, \(Y\) — число появлений числа, меньшего трех (т.е. количество выпавших единиц и двоек). Найти ряд распределения случайного вектора \((X, Y)\) и ковариацию \(K_{XY}\). Решение: При бросании двух кубиков общее число равновозможных элементарных исходов равно \(n = 6 \cdot 6 = 36\). Случайная величина \(X\) (минимум) может принимать значения: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Случайная величина \(Y\) (количество чисел < 3) может принимать значения: {0, 1, 2}. Составим таблицу совместного распределения \(P(X=i, Y=j)\). Для этого переберем все пары \((a, b)\), где \(a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). 1. Если \(Y = 2\), это значит, что оба числа меньше 3 (т.е. 1 или 2). Пары: (1,1), (1,2), (2,1), (2,2). - Для (1,1), (1,2), (2,1) \(X = 1\). Итого 3 исхода. \(P(1, 2) = 3/36\). - Для (2,2) \(X = 2\). Итого 1 исход. \(P(2, 2) = 1/36\). - Для \(X > 2\) при \(Y = 2\) вероятности равны 0. 2. Если \(Y = 1\), это значит, что одно число из {1, 2}, а другое из {3, 4, 5, 6}. - Если выпало {1} и одно из {3, 4, 5, 6}: пары (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) и наоборот. Всего 8 пар. В них \(X = 1\). \(P(1, 1) = 8/36\). - Если выпало {2} и одно из {3, 4, 5, 6}: пары (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) и наоборот. Всего 8 пар. В них \(X = 2\). \(P(2, 1) = 8/36\). - Для \(X > 2\) при \(Y = 1\) вероятности равны 0. 3. Если \(Y = 0\), это значит, что оба числа из {3, 4, 5, 6}. Всего \(4 \cdot 4 = 16\) исходов. - \(X = 3\): пары (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (5,3), (6,3). Итого 7 исходов. \(P(3, 0) = 7/36\). - \(X = 4\): пары (4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (6,4). Итого 5 исходов. \(P(4, 0) = 5/36\). - \(X = 5\): пары (5,5), (5,6), (6,5). Итого 3 исхода. \(P(5, 0) = 3/36\). - \(X = 6\): пара (6,6). Итого 1 исход. \(P(6, 0) = 1/36\). - Для \(X < 3\) при \(Y = 0\) вероятности равны 0. Таблица распределения \(P(X=i, Y=j)\): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Y \setminus X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & P(Y=j) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 7/36 & 5/36 & 3/36 & 1/36 & 16/36 \\ \hline 1 & 8/36 & 8/36 & 0 & 0 & 0 & 0 & 16/36 \\ \hline 2 & 3/36 & 1/36 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4/36 \\ \hline P(X=i) & 11/36 & 9/36 & 7/36 & 5/36 & 3/36 & 1/36 & 1 \\ \hline \end{array} \] Вычислим математические ожидания: \[ E(X) = 1 \cdot \frac{11}{36} + 2 \cdot \frac{9}{36} + 3 \cdot \frac{7}{36} + 4 \cdot \frac{5}{36} + 5 \cdot \frac{3}{36} + 6 \cdot \frac{1}{36} = \frac{11+18+21+20+15+6}{36} = \frac{91}{36} \approx 2.528 \] \[ E(Y) = 0 \cdot \frac{16}{36} + 1 \cdot \frac{16}{36} + 2 \cdot \frac{4}{36} = \frac{16+8}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \approx 0.667 \] Вычислим математическое ожидание произведения \(E(XY)\): Суммируем \(i \cdot j \cdot P(X=i, Y=j)\) для всех ненулевых ячеек: \[ E(XY) = (1 \cdot 1 \cdot \frac{8}{36}) + (2 \cdot 1 \cdot \frac{8}{36}) + (1 \cdot 2 \cdot \frac{3}{36}) + (2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{36}) \] \[ E(XY) = \frac{8 + 16 + 6 + 4}{36} = \frac{34}{36} = \frac{17}{18} \approx 0.944 \] Найдем ковариацию \(K_{XY}\): \[ K_{XY} = E(XY) - E(X)E(Y) \] \[ K_{XY} = \frac{17}{18} - \frac{91}{36} \cdot \frac{2}{3} = \frac{17}{18} - \frac{91}{54} \] Приведем к общему знаменателю 54: \[ K_{XY} = \frac{51 - 91}{54} = -\frac{40}{54} = -\frac{20}{27} \approx -0.741 \] Ответ: Ряд распределения представлен в таблице, \(K_{XY} = -\frac{20}{27}\).