Решение задачи 6 Вариант 10

Решим задачу для Варианта 10. Нам дан закон распределения случайного вектора \( (X, Y) \). 1. Однокомпонентные законы распределения Для нахождения закона распределения \( X \), просуммируем вероятности в таблице по строкам: \[ P(X=0) = 0,17 + 0,04 + 0,19 + 0,07 = 0,47 \] \[ P(X=1) = 0,07 + 0,09 + 0,04 + 0,02 = 0,22 \] \[ P(X=2) = 0,03 + 0,05 + 0,06 + 0,02 = 0,16 \] \[ P(X=3) = 0,05 + 0,01 + 0,04 + 0,05 = 0,15 \] Проверка: \( 0,47 + 0,22 + 0,16 + 0,15 = 1,00 \). Для нахождения закона распределения \( Y \), просуммируем вероятности по столбцам: \[ P(Y=1) = 0,17 + 0,07 + 0,03 + 0,05 = 0,32 \] \[ P(Y=2) = 0,04 + 0,09 + 0,05 + 0,01 = 0,19 \] \[ P(Y=4) = 0,19 + 0,04 + 0,06 + 0,04 = 0,33 \] \[ P(Y=6) = 0,07 + 0,02 + 0,02 + 0,05 = 0,16 \] Проверка: \( 0,32 + 0,19 + 0,33 + 0,16 = 1,00 \). 2. Центр рассеивания (Математические ожидания) \[ M(X) = \sum x_i p_i = 0 \cdot 0,47 + 1 \cdot 0,22 + 2 \cdot 0,16 + 3 \cdot 0,15 = 0 + 0,22 + 0,32 + 0,45 = 0,99 \] \[ M(Y) = \sum y_j p_j = 1 \cdot 0,32 + 2 \cdot 0,19 + 4 \cdot 0,33 + 6 \cdot 0,16 = 0,32 + 0,38 + 1,32 + 0,96 = 2,98 \] Центр рассеивания: \( (0,99; 2,98) \). 3. Ковариационная матрица Сначала найдем дисперсии. Для этого вычислим вторые моменты: \[ M(X^2) = 0^2 \cdot 0,47 + 1^2 \cdot 0,22 + 2^2 \cdot 0,16 + 3^2 \cdot 0,15 = 0,22 + 0,64 + 1,35 = 2,21 \] \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2,21 - (0,99)^2 = 2,21 - 0,9801 = 1,2299 \] \[ M(Y^2) = 1^2 \cdot 0,32 + 2^2 \cdot 0,19 + 4^2 \cdot 0,33 + 6^2 \cdot 0,16 = 0,32 + 0,76 + 5,28 + 5,76 = 12,12 \] \[ D(Y) = M(Y^2) - (M(Y))^2 = 12,12 - (2,98)^2 = 12,12 - 8,8804 = 3,2396 \] Теперь найдем смешанный момент \( M(XY) \): \[ M(XY) = \sum \sum x_i y_j p_{ij} \] \[ M(XY) = 1(1 \cdot 0,07 + 2 \cdot 0,09 + 4 \cdot 0,04 + 6 \cdot 0,02) + 2(1 \cdot 0,03 + 2 \cdot 0,05 + 4 \cdot 0,06 + 6 \cdot 0,02) + 3(1 \cdot 0,05 + 2 \cdot 0,01 + 4 \cdot 0,04 + 6 \cdot 0,05) \] \[ M(XY) = 1(0,07 + 0,18 + 0,16 + 0,12) + 2(0,03 + 0,10 + 0,24 + 0,12) + 3(0,05 + 0,02 + 0,16 + 0,30) \] \[ M(XY) = 0,53 + 2(0,49) + 3(0,53) = 0,53 + 0,98 + 1,59 = 3,10 \] Ковариация: \[ cov(X, Y) = M(XY) - M(X)M(Y) = 3,10 - 0,99 \cdot 2,98 = 3,10 - 2,9502 = 0,1498 \] Ковариационная матрица \( K \): \[ K = \begin{pmatrix} D(X) & cov(X, Y) \\ cov(X, Y) & D(Y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,2299 & 0,1498 \\ 0,1498 & 3,2396 \end{pmatrix} \]