Решение задачи 7 вариант 10

Решение задания 7 (вариант 10) Условие: Точка выбирается наудачу в круге радиуса \(R_0 = 1\) с центром в начале координат. \((X, Y)\) — декартовы координаты, \((R, \Phi)\) — полярные координаты. Найти плотность вероятности случайного вектора \((R, 2\Phi)\). 1. Найдем совместную плотность координат \((X, Y)\). Так как точка выбирается наудачу (равномерно) в круге \(D = \{x^2 + y^2 \le 1\}\), плотность распределения \(f_{X,Y}(x, y)\) постоянна внутри круга и равна обратной величине его площади: \[S = \pi \cdot R_0^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi\] \[f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \le 1 \\ 0, & x^2 + y^2 > 1 \end{cases}\] 2. Перейдем к полярным координатам \((R, \Phi)\). Связь координат: \(x = r \cos \phi\), \(y = r \sin \phi\). Якобиан перехода равен \(r\). Плотность вектора \((R, \Phi)\) вычисляется по формуле: \[f_{R,\Phi}(r, \phi) = f_{X,Y}(r \cos \phi, r \sin \phi) \cdot |J| = \frac{1}{\pi} \cdot r\] Область определения: \(0 \le r \le 1\), \(0 \le \phi < 2\pi\). 3. Найдем плотность вектора \((U, V) = (R, 2\Phi)\). Сделаем замену переменных: \[u = r \Rightarrow r = u\] \[v = 2\phi \Rightarrow \phi = \frac{v}{2}\] Найдем якобиан обратного преобразования: \[J^* = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial r}{\partial u} & \frac{\partial r}{\partial v} \\ \frac{\partial \phi}{\partial u} & \frac{\partial \phi}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\] Плотность распределения вектора \((U, V)\) равна: \[f_{U,V}(u, v) = f_{R,\Phi}(r(u,v), \phi(u,v)) \cdot |J^*| = \left( \frac{u}{\pi} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{u}{2\pi}\] 4. Определим область изменения новых переменных: Так как \(0 \le r \le 1\), то \(0 \le u \le 1\). Так как \(0 \le \phi < 2\pi\), то \(0 \le v < 4\pi\). Ответ: Плотность вероятности случайного вектора \((R, 2\Phi)\) имеет вид: \[f(u, v) = \begin{cases} \frac{u}{2\pi}, & 0 \le u \le 1, \ 0 \le v < 4\pi \\ 0, & \text{в остальных случаях} \end{cases}\]