Решение задачи 8 вариант 10: Геометрическое распределение

Решение задачи (Вариант 10) Условие: Случайная величина \(\xi\) имеет геометрическое распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины \(\eta = \cos(\pi \xi)\). Обычно геометрическое распределение \(G(p)\) определяется для целых неотрицательных чисел \(k = 0, 1, 2, \dots\) с вероятностями \(P(\xi = k) = p \cdot q^k\), где \(q = 1 - p\). 1. Нахождение математического ожидания \(M\eta\): По определению математического ожидания для функции от дискретной случайной величины: \[M\eta = M[\cos(\pi \xi)] = \sum_{k=0}^{\infty} \cos(\pi k) \cdot P(\xi = k)\] Заметим, что \(\cos(\pi k) = (-1)^k\). Тогда: \[M\eta = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot p \cdot q^k = p \sum_{k=0}^{\infty} (-q)^k\] Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\) при \(|x| < 1\): \[M\eta = p \cdot \frac{1}{1 - (-q)} = \frac{p}{1 + q}\] Так как \(q = 1 - p\), подставим это значение: \[M\eta = \frac{p}{1 + (1 - p)} = \frac{p}{2 - p}\] 2. Нахождение дисперсии \(D\eta\): Дисперсия вычисляется по формуле: \[D\eta = M(\eta^2) - (M\eta)^2\] Сначала найдем \(M(\eta^2)\): \[M(\eta^2) = M[\cos^2(\pi \xi)] = \sum_{k=0}^{\infty} \cos^2(\pi k) \cdot P(\xi = k)\] Так как \(\cos(\pi k)\) принимает значения \(1\) или \(-1\), то \(\cos^2(\pi k) = 1\) для любого целого \(k\). \[M(\eta^2) = \sum_{k=0}^{\infty} 1 \cdot P(\xi = k) = 1\] (Сумма всех вероятностей распределения равна 1). Теперь вычислим дисперсию: \[D\eta = 1 - \left( \frac{p}{2 - p} \right)^2 = 1 - \frac{p^2}{(2 - p)^2}\] Приведем к общему знаменателю: \[D\eta = \frac{(2 - p)^2 - p^2}{(2 - p)^2} = \frac{4 - 4p + p^2 - p^2}{(2 - p)^2} = \frac{4(1 - p)}{(2 - p)^2}\] Ответ: \[M\eta = \frac{p}{2 - p}\] \[D\eta = \frac{4(1 - p)}{(2 - p)^2}\]