Решение: Реши задачу: Задание 8 вариант 10 правильно

Решение задачи 9 (Вариант 10) Условие: Пусть \(\xi\) и \(\eta\) — независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же показательному закону с параметром \(\lambda > 0\). Найти вероятность события \(\{\xi^2 + 4\xi\eta + 4\eta^2 > 9\}\). 1. Плотности распределения величин: Так как \(\xi\) и \(\eta\) независимы и распределены по показательному закону, их плотности имеют вид: \[f_{\xi}(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0\] \[f_{\eta}(y) = \lambda e^{-\lambda y}, \quad y \ge 0\] Совместная плотность распределения в силу независимости: \[f(x, y) = f_{\xi}(x) \cdot f_{\eta}(y) = \lambda^2 e^{-\lambda(x+y)}, \quad x \ge 0, y \ge 0\] 2. Преобразование условия события: Заметим, что выражение в левой части неравенства является полным квадратом: \[\xi^2 + 4\xi\eta + 4\eta^2 = (\xi + 2\eta)^2\] Тогда условие \(\xi^2 + 4\xi\eta + 4\eta^2 > 9\) эквивалентно: \[(\xi + 2\eta)^2 > 9\] Так как \(\xi \ge 0\) и \(\eta \ge 0\), то \(\xi + 2\eta\) всегда положительно. Извлекая корень, получаем: \[\xi + 2\eta > 3\] 3. Вычисление вероятности: Искомая вероятность \(P\) равна интегралу от совместной плотности по области \(D = \{(x, y) : x \ge 0, y \ge 0, x + 2y > 3\}\). Удобнее вычислить вероятность противоположного события \(P = 1 - P(\xi + 2\eta \le 3)\). Область интегрирования для противоположного события: \(0 \le y \le 1.5\) и \(0 \le x \le 3 - 2y\). \[P(\xi + 2\eta \le 3) = \int_{0}^{1.5} \int_{0}^{3-2y} \lambda^2 e^{-\lambda(x+y)} dx dy\] Вычисляем внутренний интеграл по \(x\): \[\int_{0}^{3-2y} \lambda e^{-\lambda x} dx = [-e^{-\lambda x}]_{0}^{3-2y} = 1 - e^{-\lambda(3-2y)}\] Теперь вычисляем внешний интеграл по \(y\): \[P(\xi + 2\eta \le 3) = \lambda \int_{0}^{1.5} e^{-\lambda y} (1 - e^{-\lambda(3-2y)}) dy = \lambda \int_{0}^{1.5} (e^{-\lambda y} - e^{-3\lambda + \lambda y}) dy\] \[= \lambda \left[ \frac{e^{-\lambda y}}{-\lambda} - \frac{e^{-3\lambda + \lambda y}}{\lambda} \right]_{0}^{1.5} = \left[ -e^{-\lambda y} - e^{-3\lambda + \lambda y} \right]_{0}^{1.5}\] Подставляем пределы: \[= (-e^{-1.5\lambda} - e^{-3\lambda + 1.5\lambda}) - (-e^0 - e^{-3\lambda}) = -2e^{-1.5\lambda} + 1 + e^{-3\lambda}\] \[= 1 - 2e^{-1.5\lambda} + e^{-3\lambda} = (1 - e^{-1.5\lambda})^2\] 4. Итоговый результат: \[P(\xi^2 + 4\xi\eta + 4\eta^2 > 9) = 1 - (1 - e^{-1.5\lambda})^2\] Раскрывая скобки: \[P = 1 - (1 - 2e^{-1.5\lambda} + e^{-3\lambda}) = 2e^{-1.5\lambda} - e^{-3\lambda}\] Ответ: \[P = 2e^{-1.5\lambda} - e^{-3\lambda}\]