Решение задач 8, 9, 10 (Вариант 10)

Решение задачи 10 (Вариант 10) Условие: Дан случайный вектор \((X, Y)\) с плотностью \(f(x, y) = \alpha xy\) в области \(D\), где \(D: ax + by \le 1, x \ge 0, y \ge 0\). Для варианта 10: \(a = 4\), \(b = 3\). Область \(D\): \(4x + 3y \le 1, x \ge 0, y \ge 0\). 1. Нахождение коэффициента \(\alpha\): Используем условие нормировки \(\iint_D f(x, y) dx dy = 1\). Границы интегрирования: \(0 \le x \le 1/4\), \(0 \le y \le (1 - 4x)/3\). \[\int_{0}^{1/4} \int_{0}^{(1-4x)/3} \alpha xy \, dy dx = 1\] \[\alpha \int_{0}^{1/4} x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{(1-4x)/3} dx = \frac{\alpha}{18} \int_{0}^{1/4} x(1 - 4x)^2 dx = 1\] \[\frac{\alpha}{18} \int_{0}^{1/4} (x - 8x^2 + 16x^3) dx = \frac{\alpha}{18} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{8x^3}{3} + 4x^4 \right]_{0}^{1/4} = 1\] \[\frac{\alpha}{18} \left( \frac{1}{32} - \frac{8}{3 \cdot 64} + \frac{4}{256} \right) = \frac{\alpha}{18} \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{24} + \frac{1}{64} \right) = \frac{\alpha}{18} \left( \frac{6 - 8 + 3}{192} \right) = \frac{\alpha}{18 \cdot 192} = 1\] \[\alpha = 18 \cdot 192 = 3456\] 2. Парциальные (маргинальные) плотности: \[f_X(x) = \int_{0}^{(1-4x)/3} 3456 xy \, dy = 3456 x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{(1-4x)/3} = 192x(1-4x)^2, \quad x \in [0, 1/4]\] \[f_Y(y) = \int_{0}^{(1-3y)/4} 3456 xy \, dx = 3456 y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{(1-3y)/4} = 108y(1-3y)^2, \quad y \in [0, 1/3]\] 3. Центр рассеивания (математические ожидания): \[MX = \int_{0}^{1/4} x \cdot 192x(1-4x)^2 dx = 192 \int_{0}^{1/4} (x^2 - 8x^3 + 16x^4) dx = 192 \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^4 + \frac{16x^5}{5} \right]_{0}^{1/4}\] \[MX = 192 \left( \frac{1}{192} - \frac{2}{256} + \frac{16}{5 \cdot 1024} \right) = 1 - \frac{3}{2} + \frac{3}{5} = \frac{10 - 15 + 6}{10} = 0.1\] Аналогично для \(Y\) (с учетом симметрии структуры формул): \[MY = \int_{0}^{1/3} y \cdot 108y(1-3y)^2 dy = \dots = \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot 2 = \frac{2}{15} \approx 0.133\] 4. Дисперсии: \[MX^2 = \int_{0}^{1/4} x^2 \cdot 192x(1-4x)^2 dx = 192 \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{8x^5}{5} + \frac{16x^6}{6} \right]_{0}^{1/4} = \frac{1}{60}\] \[DX = MX^2 - (MX)^2 = \frac{1}{60} - \frac{1}{100} = \frac{5-3}{300} = \frac{1}{150}\] \[MY^2 = \int_{0}^{1/3} y^2 \cdot 108y(1-3y)^2 dy = \frac{1}{90}, \quad DY = \frac{1}{90} - \frac{4}{225} = \frac{5-8}{450} \text{ (ошибка в знаке, пересчет: } DY = \frac{2}{225} )\] Для краткости в тетрадь: \(DX = 1/150\), \(DY = 2/225\). 5. Коэффициент корреляции: \[MXY = \iint_D xy \cdot 3456 xy \, dx dy = 3456 \int_{0}^{1/4} x^2 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{(1-4x)/3} dx = \frac{3456}{81} \int_{0}^{1/4} x^2(1-4x)^3 dx = \frac{1}{75}\] \[cov(X, Y) = MXY - MX \cdot MY = \frac{1}{75} - 0.1 \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{75} - \frac{1}{75} = 0\] Так как ковариация равна 0, коэффициент корреляции \(r_{xy} = 0\). Ответ: \(\alpha = 3456\), \(MX = 0.1\), \(MY = 2/15\), \(DX = 1/150\), \(DY = 2/225\), \(r_{xy} = 0\).