Решение задачи 8 (Вариант 10) - Геометрическое распределение

Решение задачи (Вариант 10) Условие: Случайная величина \(\xi\) имеет геометрическое распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины \(\eta = \cos(\pi \xi)\). Обычно в учебниках под геометрическим распределением понимают распределение количества испытаний до первого успеха. Случайная величина \(\xi\) принимает значения \(k = 1, 2, 3, \dots\) с вероятностями: \[P(\xi = k) = p \cdot q^{k-1}\] где \(q = 1 - p\). 1. Найдем математическое ожидание \(\eta\): По определению математического ожидания функции от случайной величины: \[E\eta = E(\cos(\pi \xi)) = \sum_{k=1}^{\infty} \cos(\pi k) \cdot p \cdot q^{k-1}\] Заметим, что \(\cos(\pi k) = (-1)^k\). Тогда: \[E\eta = p \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k q^{k-1} = \frac{p}{q} \sum_{k=1}^{\infty} (-q)^k\] Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \(b_1 = -q\) и знаменателем \(-q\): \[E\eta = \frac{p}{q} \cdot \frac{-q}{1 - (-q)} = \frac{-p}{1 + q}\] Так как \(q = 1 - p\), то \(1 + q = 2 - p\). \[E\eta = \frac{-p}{2 - p}\] 2. Найдем дисперсию \(\eta\): Дисперсия вычисляется по формуле: \[D\eta = E(\eta^2) - (E\eta)^2\] Сначала найдем \(E(\eta^2)\): \[E(\eta^2) = E(\cos^2(\pi \xi)) = \sum_{k=1}^{\infty} \cos^2(\pi k) \cdot p \cdot q^{k-1}\] Так как \(\cos(\pi k)\) равен либо \(1\), либо \(-1\), то \(\cos^2(\pi k) = 1\) для всех целых \(k\). \[E(\eta^2) = \sum_{k=1}^{\infty} 1 \cdot p \cdot q^{k-1} = p \sum_{k=1}^{\infty} q^{k-1}\] Сумма вероятностей геометрического распределения равна \(1\), следовательно: \[E(\eta^2) = 1\] Теперь подставим значения в формулу дисперсии: \[D\eta = 1 - \left( \frac{-p}{2 - p} \right)^2 = 1 - \frac{p^2}{(2 - p)^2}\] Приведем к общему знаменателю: \[D\eta = \frac{(2 - p)^2 - p^2}{(2 - p)^2} = \frac{4 - 4p + p^2 - p^2}{(2 - p)^2} = \frac{4(1 - p)}{(2 - p)^2}\] Учитывая, что \(1 - p = q\): \[D\eta = \frac{4q}{(2 - p)^2}\] Ответ: \[E\eta = \frac{-p}{2 - p}\] \[D\eta = \frac{4q}{(2 - p)^2}\]