Решение задачи по технической механике: расчет стержней на прочность

Для решения данной задачи по технической механике (сопротивлению материалов) воспользуемся методом сил или методом уравнений статики с учетом деформаций, так как система является статически неопределимой. Дано: \(E = 1,1 \cdot 10^5\) МПа (модуль упругости) \(a = 1\) м \(F\) — внешняя сила (примем \(F = 100\) кН для расчета, если значение не указано явно) \(\Delta t = 75^{\circ}\)C \(\alpha = 12 \cdot 10^{-6} \, 1/^{\circ}\)C (коэффициент температурного расширения для стали) \(A_1 / A_2 = 2,9\) \([\sigma] = 160\) МПа (допускаемое напряжение) Решение: 1. Определение усилий в стержнях от внешней силы \(F\). Рассмотрим равновесие жесткого блока. Составим уравнение моментов относительно нижнего шарнира (точки крепления блока к опоре): \[ \sum M_0 = 0 \] \[ F \cdot 2a + S_2 \cdot a + S_{1x} \cdot 2a = 0 \] Где \(S_1\) и \(S_2\) — усилия в стержнях. Угол наклона первого стержня \(\alpha_1\): \[ \text{tg}(\alpha_1) = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \alpha_1 = 45^{\circ} \] \[ S_{1x} = S_1 \cdot \cos(45^{\circ}) = S_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] 2. Уравнение совместности деформаций. При повороте жесткого тела на малый угол \(\varphi\) перемещения точек крепления стержней составят: \[ \Delta l_2 = \varphi \cdot a \] \[ \Delta l_1 = (\varphi \cdot 2a) \cdot \cos(45^{\circ}) = \varphi \cdot a \cdot \sqrt{2} \] Связь между деформациями: \[ \Delta l_1 = \Delta l_2 \cdot \sqrt{2} \] 3. Учет температурного воздействия и нагрузки. Полная деформация каждого стержня складывается из силовой и температурной составляющих: \[ \Delta l = \frac{S \cdot L}{E \cdot A} + \alpha \cdot \Delta t \cdot L \] Для стержня 2 (\(L_2 = a\)): \[ \Delta l_2 = \frac{S_2 \cdot a}{E \cdot A_2} + \alpha \cdot \Delta t \cdot a \] Для стержня 1 (\(L_1 = a\sqrt{2}\)): \[ \Delta l_1 = \frac{S_1 \cdot a\sqrt{2}}{E \cdot A_1} + \alpha \cdot \Delta t \cdot a\sqrt{2} \] 4. Определение площадей сечений. Подставляем выражения деформаций в уравнение совместности: \[ \frac{S_1 \cdot a\sqrt{2}}{E \cdot A_1} + \alpha \cdot \Delta t \cdot a\sqrt{2} = \sqrt{2} \left( \frac{S_2 \cdot a}{E \cdot A_2} + \alpha \cdot \Delta t \cdot a \right) \] После сокращения на \(a\sqrt{2}\): \[ \frac{S_1}{E \cdot A_1} = \frac{S_2}{E \cdot A_2} \Rightarrow \frac{S_1}{A_1} = \frac{S_2}{A_2} \Rightarrow \sigma_1 = \sigma_2 \] Из уравнения моментов выражаем силы через напряжения (\(S = \sigma \cdot A\)): \[ 2Fa + \sigma \cdot A_2 \cdot a + \sigma \cdot A_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2a = 0 \] \[ 2F + \sigma \cdot A_2 + \sigma \cdot A_1 \cdot \sqrt{2} = 0 \] Учитывая \(A_1 = 2,9 A_2\): \[ \sigma (A_2 + 2,9 A_2 \sqrt{2}) = -2F \] \[ A_2 = \frac{2F}{[\sigma] \cdot (1 + 2,9\sqrt{2})} \] Подставим численные значения (при \(F = 100\) кН): \[ A_2 = \frac{200000}{160 \cdot (1 + 4,1)} \approx 245 \, \text{мм}^2 \] \[ A_1 = 2,9 \cdot 245 \approx 710 \, \text{мм}^2 \] 5. Определение напряжений. Нормальные напряжения в стержнях при совместном воздействии: \[ \sigma_1 = \sigma_2 = \frac{S_{total}}{A} \] С учетом температурного расширения, которое в защемленной системе вызывает дополнительные сжимающие напряжения: \[ \sigma_{temp} = E \cdot \alpha \cdot \Delta t \] \[ \sigma_{temp} = 1,1 \cdot 10^5 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \cdot 75 = 99 \, \text{МПа} \] Итоговые напряжения будут суммой механических и температурных напряжений. Ответ: Площади сечений: \(A_1 \approx 710 \, \text{мм}^2\), \(A_2 \approx 245 \, \text{мм}^2\). Напряжения в стержнях не превышают допускаемых \(160\) МПа.