schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи по технической механике: расчет прочности стержней
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Задание по технической механике: Е = 1,1×10^5 h=3м G= 4×10^4 a=1 м A1/A2=2, 9 ∆t=75° Коэффициент Пуассона- 0,33 1. Определить площади поперечных сечений заданных стержней из расчета на прочность при совместном воздействии на стержневую систему заданной нагрузки , изменения температуры и заданной неточности изготовления стержней 2. Определить продольные силы и нормальные напряжения в сечениях стержней при многофакторном воздействии Реши задачу: Пересчитай с F=240 кН
lightbulbКраткий ответ
На странице представлено подробное решение задачи по технической механике, включающее расчет прочности стержней при совместном воздействии нагрузки, температуры и неточностей изготовления. Вы найдете уравнения равновесия и совместности деформаций.
Подробное решение
Для решения задачи с уточненным значением силы \(F = 240\) кН, выполним расчет последовательно.
1. Уравнение равновесия (моментов) относительно нижней опоры:
\[ \sum M_0 = 0 \Rightarrow F \cdot 2a + S_2 \cdot a + S_{1x} \cdot 2a = 0 \]
Учитывая, что \(S_{1x} = S_1 \cdot \cos(45^{\circ}) = S_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:
\[ 2Fa + S_2 a + S_1 \sqrt{2} a = 0 \]
Разделим на \(a\):
\[ 2F + S_2 + S_1 \sqrt{2} = 0 \]
2. Уравнение совместности деформаций:
Из геометрической схемы перемещений для данной конструкции следует:
\[ \Delta l_1 = \Delta l_2 \cdot \sqrt{2} \]
Выразим деформации через напряжения \(\sigma\) и температурное расширение:
\[ \frac{\sigma_1 L_1}{E} + \alpha \Delta t L_1 = \sqrt{2} \left( \frac{\sigma_2 L_2}{E} + \alpha \Delta t L_2 \right) \]
Так как \(L_1 = a\sqrt{2}\) и \(L_2 = a\):
\[ \frac{\sigma_1 a\sqrt{2}}{E} + \alpha \Delta t a\sqrt{2} = \sqrt{2} \left( \frac{\sigma_2 a}{E} + \alpha \Delta t a \right) \]
Сократив на \(a\sqrt{2}\), получаем:
\[ \frac{\sigma_1}{E} = \frac{\sigma_2}{E} \Rightarrow \sigma_1 = \sigma_2 = \sigma \]
3. Определение площади сечения \(A_2\):
Заменим силы в уравнении равновесия на \(S = \sigma \cdot A\):
\[ 2F + \sigma A_2 + \sigma A_1 \sqrt{2} = 0 \]
По условию \(A_1 = 2,9 A_2\). Подставим это значение:
\[ 2F + \sigma A_2 + \sigma (2,9 A_2) \sqrt{2} = 0 \]
\[ 2F + \sigma A_2 (1 + 2,9\sqrt{2}) = 0 \]
Отсюда требуемая площадь из условия прочности (\(\sigma = [\sigma] = 160\) МПа):
\[ A_2 = \frac{2F}{[\sigma] \cdot (1 + 2,9\sqrt{2})} \]
Подставим значения (\(F = 240\) кН = \(240000\) Н):
\[ A_2 = \frac{2 \cdot 240000}{160 \cdot (1 + 2,9 \cdot 1,414)} = \frac{480000}{160 \cdot 5,1} \approx 588,2 \, \text{мм}^2 \]
4. Определение площади \(A_1\):
\[ A_1 = 2,9 \cdot A_2 = 2,9 \cdot 588,2 \approx 1705,8 \, \text{мм}^2 \]
5. Расчет напряжений от температуры:
\[ \sigma_{temp} = E \cdot \alpha \cdot \Delta t \]
\[ \sigma_{temp} = 1,1 \cdot 10^5 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \cdot 75 = 99 \, \text{МПа} \]
6. Продольные силы в стержнях (при \(F = 240\) кН):
\[ S_2 = \sigma \cdot A_2 = 160 \cdot 588,2 = 94112 \, \text{Н} \approx 94,1 \, \text{кН} \]
\[ S_1 = \sigma \cdot A_1 = 160 \cdot 1705,8 = 272928 \, \text{Н} \approx 272,9 \, \text{кН} \]
Ответ:
1. Площади сечений: \(A_1 \approx 1705,8 \, \text{мм}^2\), \(A_2 \approx 588,2 \, \text{мм}^2\).
2. Продольные силы: \(S_1 \approx 272,9 \, \text{кН}\), \(S_2 \approx 94,1 \, \text{кН}\).
3. Нормальные напряжения в обоих стержнях: \(\sigma = 160\) МПа.