Скорость электрона в атоме водорода (модель Бора): Решение

Давайте разберем эту задачу. Для начала вспомним основные положения модели атома водорода Бора. 1. Электрон движется по круговым орбитам вокруг ядра. 2. Электрон может находиться только на определенных, стационарных орбитах, которым соответствуют определенные значения энергии. 3. При переходе электрона с одной орбиты на другую излучается или поглощается квант энергии. Теперь перейдем к решению задачи. Нам нужно найти скорость электрона на n-м энергетическом уровне. Для этого мы можем использовать два основных принципа: 1. **Условие квантования момента импульса (постулат Бора):** Момент импульса электрона на стационарной орбите квантуется и равен целому кратному постоянной Планка, деленной на \(2\pi\). \[L = m_e v_n r_n = n \frac{h}{2\pi} = n \hbar\] где: * \(m_e\) - масса электрона * \(v_n\) - скорость электрона на n-м уровне * \(r_n\) - радиус n-го уровня * \(n\) - главное квантовое число (номер энергетического уровня) * \(h\) - постоянная Планка * \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\) - приведенная постоянная Планка 2. **Условие равновесия сил:** На электрон действует кулоновская сила притяжения к ядру, которая является центростремительной силой. \[F_k = F_{цс}\] \[\frac{k e^2}{r_n^2} = \frac{m_e v_n^2}{r_n}\] где: * \(k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\) - постоянная Кулона * \(e\) - элементарный заряд * \(r_n\) - радиус n-го уровня * \(m_e\) - масса электрона * \(v_n\) - скорость электрона на n-м уровне Из второго уравнения мы можем выразить \(v_n^2\): \[v_n^2 = \frac{k e^2}{m_e r_n}\] \[v_n = \sqrt{\frac{k e^2}{m_e r_n}}\] Теперь нам нужно найти \(r_n\). Для этого воспользуемся первым уравнением: \[m_e v_n r_n = n \hbar\] Выразим \(r_n\): \[r_n = \frac{n \hbar}{m_e v_n}\] Подставим это выражение для \(r_n\) во второе уравнение: \[\frac{k e^2}{(\frac{n \hbar}{m_e v_n})^2} = \frac{m_e v_n^2}{\frac{n \hbar}{m_e v_n}}\] Это слишком сложно. Давайте сделаем по-другому. Из первого уравнения выразим \(v_n\): \[v_n = \frac{n \hbar}{m_e r_n}\] Подставим это выражение для \(v_n\) во второе уравнение: \[\frac{k e^2}{r_n^2} = \frac{m_e (\frac{n \hbar}{m_e r_n})^2}{r_n}\] \[\frac{k e^2}{r_n^2} = \frac{m_e \frac{n^2 \hbar^2}{m_e^2 r_n^2}}{r_n}\] \[\frac{k e^2}{r_n^2} = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e r_n^3}\] Теперь выразим \(r_n\): \[k e^2 m_e r_n^3 = n^2 \hbar^2 r_n^2\] Разделим обе части на \(r_n^2\) (при условии \(r_n \neq 0\)): \[k e^2 m_e r_n = n^2 \hbar^2\] \[r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{k e^2 m_e}\] Это формула для радиуса n-го энергетического уровня. Мы знаем, что радиус атома в невозбуждённом состоянии (n=1) равен \(r_1\). Подставим \(n=1\) в формулу для \(r_n\): \[r_1 = \frac{1^2 \hbar^2}{k e^2 m_e} = \frac{\hbar^2}{k e^2 m_e}\] Теперь мы можем выразить \(k e^2 m_e\) через \(r_1\): \[k e^2 m_e = \frac{\hbar^2}{r_1}\] Вернемся к формуле для \(r_n\): \[r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{k e^2 m_e} = \frac{n^2 \hbar^2}{\frac{\hbar^2}{r_1}} = n^2 r_1\] Это очень важный результат: радиус n-го уровня пропорционален квадрату номера уровня. Теперь, когда у нас есть \(r_n\), мы можем найти скорость \(v_n\). Используем формулу: \[v_n = \frac{n \hbar}{m_e r_n}\] Подставим \(r_n = n^2 r_1\): \[v_n = \frac{n \hbar}{m_e (n^2 r_1)}\] \[v_n = \frac{\hbar}{m_e n r_1}\] Это и есть скорость электрона на n-м энергетическом уровне. Давайте проверим, что это соответствует одному из предложенных вариантов ответа. Для этого нам нужно знать, какие варианты были предложены. Предположим, что один из вариантов выглядит как: \[v_n = \frac{\hbar}{m_e n r_1}\] Если же варианты даны в другом виде, например, через скорость на первом уровне \(v_1\), то мы можем выразить \(v_1\): При \(n=1\): \[v_1 = \frac{\hbar}{m_e r_1}\] Тогда: \[v_n = \frac{1}{n} \left(\frac{\hbar}{m_e r_1}\right) = \frac{v_1}{n}\] То есть, скорость электрона обратно пропорциональна номеру энергетического уровня. Итак, окончательный ответ зависит от того, в каком виде представлены варианты. Если варианты ответа содержат \(r_1\), то правильный ответ: \[v_n = \frac{\hbar}{m_e n r_1}\] Если варианты ответа содержат \(v_1\), то правильный ответ: \[v_n = \frac{v_1}{n}\] Без предложенных вариантов ответа я не могу указать конкретный. Но я вывел формулу для скорости электрона на n-м энергетическом уровне. Давайте еще раз подытожим шаги: 1. Записали условие квантования момента импульса: \(m_e v_n r_n = n \hbar\). 2. Записали условие равновесия сил (кулоновская сила равна центростремительной): \(\frac{k e^2}{r_n^2} = \frac{m_e v_n^2}{r_n}\). 3. Из этих двух уравнений выразили \(r_n\) и \(v_n\). 4. Нашли \(r_n = n^2 r_1\), используя данное \(r_1\) для \(n=1\). 5. Подставили \(r_n\) в выражение для \(v_n\). Окончательная формула для скорости электрона на n-м энергетическом уровне: \[v_n = \frac{\hbar}{m_e n r_1}\]