Решение Задачи: Центр Масс и Закон Его Движения

Центр масс (или центр инерции) — это геометрическая точка, характеризующая распределение масс в системе тел. Движение этой точки описывает движение системы как единого целого. 1. Определение координат центра масс Для системы, состоящей из \( n \) материальных точек с массами \( m_1, m_2, ..., m_n \), координаты которых определяются радиус-векторами \( \vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n \), радиус-вектор центра масс \( \vec{r}_c \) вычисляется по формуле: \[ \vec{r}_c = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + ... + m_n \vec{r}_n}{M} \] где \( M = \sum m_i \) — общая масса системы. 2. Скорость центра масс Скорость центра масс \( \vec{v}_c \) связана с суммарным импульсом системы \( \vec{P} \): \[ \vec{v}_c = \frac{\sum m_i \vec{v}_i}{M} = \frac{\vec{P}}{M} \] 3. Закон движения центра масс Закон движения центра масс формулируется следующим образом: центр масс системы движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе всей системы, под действием суммы всех внешних сил, приложенных к системе. Математически это записывается в виде второго закона Ньютона для системы тел: \[ M \vec{a}_c = \sum \vec{F}_{ext} \] где \( \vec{a}_c \) — ускорение центра масс, а \( \sum \vec{F}_{ext} \) — векторная сумма всех внешних сил. Важные выводы: 1. Внутренние силы (силы взаимодействия тел внутри системы) не могут изменить положение или скорость центра масс, так как их векторная сумма по третьему закону Ньютона всегда равна нулю. 2. Если сумма внешних сил равна нулю (замкнутая система), то центр масс системы движется равномерно и прямолинейно или покоится: \[ \vec{v}_c = \text{const} \] Этот закон позволяет упрощать решение многих задач, рассматривая движение сложной системы как движение одной точки.