Задача: Найдите состав смеси кислорода и азота в массовых долях, если плотность по водороду этой смеси равна 15.
Дано:
- Относительная плотность смеси по водороду \(D_{\text{H}_2} = 15\)
Найти:
- Массовая доля кислорода \(\omega(\text{O}_2)\)
- Массовая доля азота \(\omega(\text{N}_2)\)
Решение:
1. Определим среднюю молярную массу смеси.
Относительная плотность газа по водороду определяется как отношение молярной массы газа к молярной массе водорода:
\[D_{\text{H}_2} = \frac{M_{\text{смеси}}}{M_{\text{H}_2}}\]Молярная масса водорода (\(\text{H}_2\)): \(M_{\text{H}_2} = 2 \cdot 1 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 2 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\)
Отсюда найдем среднюю молярную массу смеси:
\[M_{\text{смеси}} = D_{\text{H}_2} \cdot M_{\text{H}_2}\] \[M_{\text{смеси}} = 15 \cdot 2 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 30 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\]2. Запишем молярные массы компонентов смеси.
- Молярная масса кислорода (\(\text{O}_2\)): \(M_{\text{O}_2} = 2 \cdot 16 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 32 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\)
- Молярная масса азота (\(\text{N}_2\)): \(M_{\text{N}_2} = 2 \cdot 14 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 28 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\)
3. Составим систему уравнений для определения мольных долей.
Пусть \(x\) – мольная доля кислорода (\(\text{O}_2\)), а \(y\) – мольная доля азота (\(\text{N}_2\)).
Сумма мольных долей равна 1:
\[x + y = 1 \quad (1)\]Средняя молярная масса смеси также выражается через мольные доли компонентов:
\[M_{\text{смеси}} = x \cdot M_{\text{O}_2} + y \cdot M_{\text{N}_2}\] \[30 = x \cdot 32 + y \cdot 28 \quad (2)\]Из уравнения (1) выразим \(y\): \(y = 1 - x\)
Подставим это выражение в уравнение (2):
\[30 = 32x + 28(1 - x)\] \[30 = 32x + 28 - 28x\] \[30 - 28 = 32x - 28x\] \[2 = 4x\] \[x = \frac{2}{4} = 0,5\]Таким образом, мольная доля кислорода \(x = 0,5\).
Найдем мольную долю азота:
\[y = 1 - x = 1 - 0,5 = 0,5\]Мольная доля азота \(y = 0,5\).
4. Найдем массовые доли компонентов.
Массовая доля компонента в смеси определяется как отношение массы этого компонента к общей массе смеси.
Предположим, что у нас 1 моль смеси. Тогда масса кислорода в этой смеси:
\[m_{\text{O}_2} = x \cdot M_{\text{O}_2} = 0,5 \text{ моль} \cdot 32 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 16 \text{ г}\]Масса азота в этой смеси:
\[m_{\text{N}_2} = y \cdot M_{\text{N}_2} = 0,5 \text{ моль} \cdot 28 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 14 \text{ г}\]Общая масса 1 моль смеси:
\[m_{\text{смеси}} = m_{\text{O}_2} + m_{\text{N}_2} = 16 \text{ г} + 14 \text{ г} = 30 \text{ г}\]Проверим, что общая масса равна средней молярной массе, которую мы нашли в пункте 1: \(30 \frac{\text{г}}{\text{моль}}\). Все верно.
Теперь рассчитаем массовые доли:
Массовая доля кислорода:
\[\omega(\text{O}_2) = \frac{m_{\text{O}_2}}{m_{\text{смеси}}} = \frac{16 \text{ г}}{30 \text{ г}} \approx 0,5333\]Массовая доля азота:
\[\omega(\text{N}_2) = \frac{m_{\text{N}_2}}{m_{\text{смеси}}} = \frac{14 \text{ г}}{30 \text{ г}} \approx 0,4667\]Переведем в проценты:
\(\omega(\text{O}_2) \approx 53,33\%\)
\(\omega(\text{N}_2) \approx 46,67\%\)
Ответ: Если плотность смеси по водороду равна 15, то массовая доля кислорода составляет примерно 53,33%, а массовая доля азота – примерно 46,67%.
Важное примечание: Это решение основано на предположении, что в условии задачи была опечатка, и плотность по водороду должна быть 15, а не 17. С исходным значением 17 задача не имеет физического смысла.