Решение задачи 2: y = 2 - 5sin(x)cos(x)

Хорошо, давайте решим задание 2. Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции. а) \(y = 2 - 5\sin x \cos x\) Решение: Для начала упростим выражение для функции. Мы знаем формулу двойного угла для синуса: \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\). Из этой формулы можно выразить \(\sin x \cos x\): \(\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)\). Подставим это в нашу функцию: \(y = 2 - 5 \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)\) \(y = 2 - \frac{5}{2}\sin(2x)\) Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции. Мы знаем, что функция \(\sin(2x)\) принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть: \(-1 \le \sin(2x) \le 1\) Умножим все части неравенства на \(-\frac{5}{2}\). При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: \(-1 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) \ge -\frac{5}{2}\sin(2x) \ge 1 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)\) \(\frac{5}{2} \ge -\frac{5}{2}\sin(2x) \ge -\frac{5}{2}\) Перепишем в более привычном порядке (от меньшего к большему): \(-\frac{5}{2} \le -\frac{5}{2}\sin(2x) \le \frac{5}{2}\) Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства: \(2 - \frac{5}{2} \le 2 - \frac{5}{2}\sin(2x) \le 2 + \frac{5}{2}\) Вычислим значения: \(2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}\) \(2 + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}\) Таким образом, получаем: \(-\frac{1}{2} \le y \le \frac{9}{2}\) Наименьшее значение функции: \(y_{min} = -\frac{1}{2}\) Наибольшее значение функции: \(y_{max} = \frac{9}{2}\) Ответ: Наибольшее значение функции \(y_{max} = \frac{9}{2}\). Наименьшее значение функции \(y_{min} = -\frac{1}{2}\). б) \(y = 3 + \frac{1}{4}\sin^2 x - \frac{1}{4}\cos^2 x\) Решение: Для начала упростим выражение для функции. Вынесем \(\frac{1}{4}\) за скобки: \(y = 3 + \frac{1}{4}(\sin^2 x - \cos^2 x)\) Мы знаем формулу косинуса двойного угла: \(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\). Значит, \(\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)\). Подставим это в нашу функцию: \(y = 3 + \frac{1}{4}(-\cos(2x))\) \(y = 3 - \frac{1}{4}\cos(2x)\) Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции. Мы знаем, что функция \(\cos(2x)\) принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть: \(-1 \le \cos(2x) \le 1\) Умножим все части неравенства на \(-\frac{1}{4}\). При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: \(-1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \ge -\frac{1}{4}\cos(2x) \ge 1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\) \(\frac{1}{4} \ge -\frac{1}{4}\cos(2x) \ge -\frac{1}{4}\) Перепишем в более привычном порядке (от меньшего к большему): \(-\frac{1}{4} \le -\frac{1}{4}\cos(2x) \le \frac{1}{4}\) Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства: \(3 - \frac{1}{4} \le 3 - \frac{1}{4}\cos(2x) \le 3 + \frac{1}{4}\) Вычислим значения: \(3 - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}\) \(3 + \frac{1}{4} = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}\) Таким образом, получаем: \(\frac{11}{4} \le y \le \frac{13}{4}\) Наименьшее значение функции: \(y_{min} = \frac{11}{4}\) Наибольшее значение функции: \(y_{max} = \frac{13}{4}\) Ответ: Наибольшее значение функции \(y_{max} = \frac{13}{4}\). Наименьшее значение функции \(y_{min} = \frac{11}{4}\).