| A | B | C | \(A \wedge B\) | \(B \wedge C\) | \((A \wedge B) \vee (B \wedge C)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
school
Общие знания
verified
Решено AI
Решение: Проверка равносильности логических выражений в дискретной математике
help_outline
Условие задачи
Реши задание по предмету - дискретная математика.
lightbulb
Краткий ответ
Задача решена с использованием законов логики и упрощения выражений. Показано, что левая часть выражения всегда ложна (равна 0).
Подробное решение
Хорошо, давайте проверим равносильность двух логических выражений с помощью таблицы истинности.
Нам нужно проверить, является ли следующее равенство истинным:
\[ \overline{A \wedge C \vee B \vee \overline{B} \vee (B \wedge (\overline{A \vee C}))} = (A \wedge B) \vee (B \wedge C) \]
Для начала, давайте упростим левую часть выражения, используя законы логики.
Заметим, что \( B \vee \overline{B} \) всегда истинно (равно 1).
Тогда выражение под большой чертой отрицания становится:
\( A \wedge C \vee 1 \vee (B \wedge (\overline{A \vee C})) \)
Так как \( X \vee 1 = 1 \), то все выражение под большой чертой отрицания равно 1.
Следовательно, левая часть выражения:
\( \overline{1} = 0 \)
Таким образом, левая часть выражения всегда ложна (равна 0).
Теперь нам нужно проверить, равносильно ли это правой части выражения:
\( (A \wedge B) \vee (B \wedge C) \)
Если левая часть всегда 0, то для равносильности правая часть также должна быть всегда 0.
Давайте построим таблицу истинности для правой части выражения \( (A \wedge B) \vee (B \wedge C) \).
У нас есть три переменные: A, B, C. Значит, будет \( 2^3 = 8 \) строк в таблице.
Таблица истинности:
Как видно из таблицы истинности, выражение \( (A \wedge B) \vee (B \wedge C) \) не всегда равно 0. Например, при A=0, B=1, C=1 оно равно 1.
Вывод:
Левая часть выражения \( \overline{A \wedge C \vee B \vee \overline{B} \vee (B \wedge (\overline{A \vee C}))} \) всегда равна 0.
Правая часть выражения \( (A \wedge B) \vee (B \wedge C) \) не всегда равна 0.
Поскольку значения левой и правой частей не совпадают во всех строках таблицы истинности, данные выражения не являются равносильными.
Ответ: Выражения не равносильны.