Решение задач: Трапеция и Вектор

Ниже представлены решения задач с фотографий, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: Трапеция описана около окружности. Периметр \( P = 84 \). Найти: Среднюю линию \( m \). Решение: 1) По свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Если основания трапеции \( a \) и \( b \), а боковые стороны \( c \) и \( d \), то: \[ a + b = c + d \] 2) Так как периметр \( P = a + b + c + d = 84 \), то: \[ (a + b) + (a + b) = 84 \] \[ 2(a + b) = 84 \] \[ a + b = 42 \] 3) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] Ответ: 21. Задача 2. Найти квадрат длины вектора \( \vec{a} + \vec{b} \). Решение: 1) Определим координаты векторов по рисунку: \( \vec{a} \) имеет начало в точке (1; 6) и конец в (4; 5). \[ \vec{a} = (4 - 1; 5 - 6) = (3; -1) \] \( \vec{b} \) имеет начало в точке (4; 1) и конец в (7; 3). \[ \vec{b} = (7 - 4; 3 - 1) = (3; 2) \] 2) Найдем координаты вектора суммы \( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \): \[ \vec{c} = (3 + 3; -1 + 2) = (6; 1) \] 3) Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат: \[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = 6^2 + 1^2 = 36 + 1 = 37 \] Ответ: 37. Задача 3. Дано: Диагональ куба \( d = \sqrt{300} \). Найти: Объем куба \( V \). Решение: 1) Формула диагонали куба через его ребро \( a \): \[ d = a\sqrt{3} \] \[ \sqrt{300} = a\sqrt{3} \] \[ a = \frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \sqrt{100} = 10 \] 2) Объем куба: \[ V = a^3 = 10^3 = 1000 \] Ответ: 1000. Задача 4. Решение: 1) Всего машин \( n = 45 \). 2) Машин черного цвета 18. Значит, машин желтого цвета: \[ 45 - 18 = 27 \] 3) Вероятность того, что приедет желтая машина: \[ P = \frac{27}{45} = \frac{3}{5} = 0,6 \] Ответ: 0,6. Задача 6. Решить уравнение: \( \log_x 27 = 3 \). Решение: 1) По определению логарифма: \[ x^3 = 27 \] 2) Так как \( 27 = 3^3 \): \[ x^3 = 3^3 \] \[ x = 3 \] Ответ: 3. Задача 7. Найти \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = -\frac{24}{25} \) и \( \alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \). Решение: 1) Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625} \] 2) Так как угол \( \alpha \) находится в IV четверти, косинус там положителен: \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25} = 0,28 \] Ответ: 0,28. Задача 8. Найти значение производной \( f'(x_0) \). Решение: 1) Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона). 2) Выберем две точки на касательной, лежащие в узлах сетки: \( A(-4; 6) \) и \( B(1; 4) \). 3) Найдем коэффициент \( k \): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 6}{1 - (-4)} = \frac{-2}{5} = -0,4 \] Ответ: -0,4. Задача 11. На рисунке график \( f(x) = \frac{k}{x} + a \). Найти \( x \), при котором \( f(x) = 0,8 \). Решение: 1) По графику определим горизонтальную асимптоту: \( y = 1 \), значит \( a = 1 \). 2) Возьмем точку на графике, например \( (1; -1) \): \[ -1 = \frac{k}{1} + 1 \Rightarrow k = -2 \] 3) Функция имеет вид: \( f(x) = -\frac{2}{x} + 1 \). 4) Найдем \( x \), если \( f(x) = 0,8 \): \[ 0,8 = -\frac{2}{x} + 1 \] \[ \frac{2}{x} = 1 - 0,8 \] \[ \frac{2}{x} = 0,2 \] \[ x = \frac{2}{0,2} = 10 \] Ответ: 10.